Factorización

FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN

Caso I: Factor Común
Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos
los términos. Los números pueden factorizarse en este
caso si existe máximo común divisor (MCD) entre
ellos.

Ejemplos
•

ax+bx = x(a+b)

•

ax3-bx2 = x2(ax-b)

•

2b5-b3 = b3(2b2-1)

•

24ax+18bx = 6x(4a+3b)

Caso I Especial

•

24 – 18 2⇐
12 – 9 2
6– 9 2
MCD = 2. 3 = 6
3 – 9 3⇐
1– 3 3
1
2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)

Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto
entre paréntesis.

•

a(m-2)-m+2
a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1)

Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y
dividir cada término entre el común

•

x(a-b)+a-b
x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1)

Caso II: Factor común por agrupación
Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces sonseis u ocho términos

•

ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by)
= x(a+b) - y(a+b)
= (a+b)(x-y)

Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar
cada grupo como el caso I y luego el resultado
factorizar como el caso I especial.

•

Caso III: Trinomio cuadrado perfecto

•

ax2-x+ax-1 = (ax2-x)+(ax-1)
= x( ax-1) +(ax-1)
= (ax-1)(x+1)
a2+2ab+b2 = (a+b)2

Cómo Reconocer: Siempre son trestérminos.
El primero y el tercero siempre son positivos y tienen
raíz cuadrada.

•

x2-2xy+y2 = (x-y)2

•

4x2-12xy+9y2 = (2x-3y)2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy

•

x2
x

− 5xy 3 + 25 y 6 =  − 5 y 3 
4
2



Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras
comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y
dividir cada término entre el factor común (restando
los exponentes).Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero,
signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar
entre paréntesis y elevar al cuadrado.

2

 x
prueba : 2 (5 y 3 ) = 5 xy 3
2

(a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2

Caso III Especial
Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis.
El primero y el tercero siempre son positivos y tienen
raíz cuadrada.

[(a+1)+(2a-3)]2Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero,
signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar
entre corchetes y elevar al cuadrado.
Caso IV: Diferencia de cuadrados

[3a-2]2

[ a+1 + 2 a-3 ]2

•

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que
tienen raíz cuadrada, siempre es una resta

•

4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)

Cómo Factorizar: Abrirdos pares de paréntesis: uno
con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz
cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo
en los dos paréntesis.
Caso IV Especial

•

x 2 16  x 4  x 4 
−
=  −  + 
25 y 6  5 y 3  5 y 3 

•

(a+b)2 – c2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]

•

49(x –1)2 – 9(3 – x)2

Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son
conjuntos entreparéntesis y que tienen raíz cuadrada,
el signo afuera de los parentesis es menos (-)
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno
con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz
cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los
dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos
semejantes.

[7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)]
[7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x]
[10x – 16] [4x+ 2]

Combinación Caso III y IV

Ejemplos
•

a2 - x2 – 2xy – y2 = a2 – (x2 + 2xy + y2)
= a2 – (x+y)2
= [a – (x+y)][a + (x+y)]
= [a – x - y] [a + x + y]

•

Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos
formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis
y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por
el caso IV Especial

a2 +2ab + b2 – c2 = (a2 +2ab + b2) – c2
(a +b)2 – c2
[(a +b) –c] [(a +b) +c]
[a + b – c] [a + b + c]

•

Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos
tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos,
cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada.

a2 +2ab + b2- x2 + 2xy – y2
(a2 +2ab + b2) - (x2 - 2xy + y2)
(a + b)2 – (x – y)2
[(a + b) – (x – y)][ (a + b) + (x – y)]
[ a + b – x + y ][ a + b + x – y ]

Cuando son seis...