Factorización

Páginas: 5 (1102 palabras) Publicado: 1 de junio de 2010
Bases para la factorización
Un número natural a divide a otro número natural b si existe un cierto n tal que a n = b. En este caso se escribe b/a (a divide a b). Por ejemplo 12/4 (cuatro divide a doce) porque existe 3 tal que (4)(3) = 12.
Si b/a es un divisor o factor de b y b es un múltiplo de a. En el ejemplo anterior, los números 4 y 3 son factores o divisores de 12 y 12 es un múltiplo de 3y de 4.
    El 0 es múltiplo de cualquier número de sí mismo ya que cualquiera que sea n, n * 0 = 0. La división entre 0 no es posible.
    El número 30 puede descomponerse en los productos:
60 = 1 * 60
60 = 2 * 30
60 = 3 * 20
60 = 4 * 15
60 = 5 * 12
60 = 6 * 10
    Siendo entonces, sus divisores : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, y 60.
    El número 1 es divisor de cualquier númeron ya que siempre n x 1 = n. De la última igualdad se deduce que cualquier número es factor o divisor y múltiplo de sí mismo.
    2 es divisor de un número si la cifra de las unidades de éste es 0, 2, 4, 6 u 8.
    3 ó 9 son divisores de un número si lo son de la suma de las cifras del número.
    5 es divisor de todo número cuya cifra de las unidades sea 0 ó 5.
    Un número es múltiplo de 10si su cifra de las unidades es 0.
    Un número es múltiplo de 6 si lo es de 2 y de 3 (simultáneamente).
    Se llama factorización de un número a la operación consistente en encontrar los factores con cuyo producto se obtiene el número dado.
    Un número puede factorizarse de diversas formas:
12 = 12 x 1;
12 = 6 x 2;
12 = 4 x 3;
12 = 2 x 2 x 3
Cualquier número n puede factorizarse n = nx 1; a esta factorización se la llama trivial.
Los números cuyos únicos divisores son ellos mismos y la unidad, se denominan números primos.

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NÚMEROS PRIMOS
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    Hay números naturales, como el 5, que sólo tienen dos divisores 5 y 1.
    • Número primo: Es un número que sólo tiene dos divisores: él mismo y el 1.
    • Número compuesto: Es el número que tiene más de dosdivisores.
    Ejemplos: El número 7 es primo: Div(7) = {7, 1} en cambio el número 9 es compuesto: Div(9) = {9,1,3}. La sucesión de números primos es ilimitada: 1, 3, 5, 7, 11, 13...
MINIMO COMUN MULTIPLO Y MAXIMO COMUN DIVISOR
   El máximo común divisor de dos enteros a, b no cero, es el entero d más grande que
divide a ambos.
Existen dos formas comunes para conocer el m.c.d. de a, b. La primerahace uso del
conocimiento de todos los factores de los dos números a, b. Esto es efectivo solo para
números pequeños ya que conocer la factorización (conocer todos los factores) completa
de un número es eficiente solo para números pequeños.
La segunda forma, es a través del algoritmo de Euclides.
Ejemplo 1 Sea a = 10 y b = 15.
Para a = 10 los factores son {1, 2, 5, 10}
Para a = 15 losfactores son {1, 3, 5, 15}
Los factores comunes de 10, 15 son {1, 5}
Entonces el máximo común divisor es 5.
Ejemplo 2 Sea a = 20 y b = 30.
Para a = 20 los factores son {1, 2, 3, 4, 5, 10, 20}
Para a = 30 los factores son {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Los factores comunes de 20, 30 son {1, 2, 3, 5, 10}
Entonces el máximo común divisor es 10.

Otra forma de encontrar el máximo común divisor
Sea a =900 y b = 1080.
La factorización de a = 900 es 900 = 22 ・ 32 ・ 52
La factorización de a = 1080 es 1080 = 23 ・ 33 ・ 5
Entonces nos fijamos en los factores comunes, qué en este caso son las potencias
de 2, 3 y 5, y tomamos la potencia menor.
Entonces el máximo común divisor de 900 y 1080 es d = 22 ・ 32 ・ 5 = 180.
Por el método de la criba de Eratóstenes se usa un método de eliminación.
   Una factorización de un número en la que todos los factores son números primos se llama total o descomposición en factores primos.

La factorización total de un número es única, es decir, un número sólo puede descomponerse de una manera en factores primos.

48 = 6 x 8
48 = 2 x 3 x 8
48 = 2 x 24
48 = 16 x 3
48 = 4 x 12

48 = 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3, esta es la única factorización total...
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