Factorización
En esta sección veremos como algunas de las leyes de exponentes, son válidas para cualquier grupo, y algunas solo para grupos abelianos.
Estas leyes lasusaremos continuamente y por ello les dedicamos esta sección. Comencemos con la definición de exponente, y luego veamos las leyes mencionadas
Observación.
El decir exponente es solamenteeso, un dicho. Por ejemplo, si el grupo es [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] con la operación de la suma, entonces [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] significa enrealidad [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], que obviamente, no tiene ninguna cara de exponente.
Sin embargo, hablando abstractamente, nos referimos a la exponenciación,simplemente como un concepto formal.
PROPOSICIÓN. Si G es un grupo, [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] y [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] entonces:
1. [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic].
2. [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic].
Demostración. (1) Si [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] ó[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], el resultado es obvio; supongamos primero que ambos son positivos, y usemos inducción matemática sobre n:
• Si [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] entonces [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], donde la penúltima igualdad se debe al hecho de que el producto indicado tiene exactamente m factores.
• Ahora supongamos que la ley es válida para [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] y probémosla para [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]:[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
donde hemos usado la base de la inducción en la primera y en la última igualdad, así
como la hipótesis de inducción en la igualdad intermedia
Regístrate para leer el documento completo.