Factorización

FACTORIZACIÓN
Consiste en dejar indicado como el producto de sus factores una expresión dada. Recomendación:
1) Se observa si la expresión dada tiene factor común.
2) Si se descarta lo anterior, entonces se determina el número de términos del polinomio para luego identificarlo con su caso respectivo.
CASO 1 – FACTOR COMÚN
Es el factor que se repite como producto en todos los términos de unpolinomio. Procedimiento:
Se obtiene el factor común que puede ser un número o literal en cada término de un polinomio.
El otro factor se obtiene dividiendo cada uno de los términos del polinomio dentro del factor común encontrado.
Ejemplo:
X2+XY = X (X + Y)
Observación: siempre se coloca el factor común con el menor exponente.
CASO 2 – FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Este caso sepresenta principalmente en polinomios de 4 o 6 términos y se efectúa de la siguiente manera:
Los términos pueden agruparse de 2 en 2 o de 3 en 3 de tal formar que al factorizar en cada grupo se encuentre factor común.
Se extraen monomios comunes de los términos agrupados y se da el resultado.
Ejemplo:
6XY + 6YZ + 5X + 5Z
(6XY + 6YZ) + (5X + 5Z)
6Y(X + Z) + 5(X + Z)
(6Y + 5) (X + Z)

CASO 3 –DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus raíces. Procedimiento
Verificar si en cada uno de los términos se tiene raíz cuadrada exacta.
Expresar el binomio como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces.
Ejemplo:
Para resolver se debe observar: tiene que tener dos términos y cada término tiene que tener raíz cuadra exacta.X2-Y2
(X + Y) (X – Y)

Ejemplo: factorice la siguiente expresión: 16X4Y2 – 9X2Y6 Procedimiento:
Como primer paso, siempre se obtiene el factor común.
Se verifica que el primer y segundo término tengan raíz cuadra exacta y estén representados por una resta.
16X4Y2 – 9X2Y6 = X2Y2 (16X2 – 9Y4)
X2Y2 (4X + 3Y2) (4X – 3Y2)

CASO 4 – TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Para que un trinomio sea cuadradoperfecto debe cumplir la siguiente condición: –Que el segundo término sea el doble del producto de la raíz cuadrada del primer término por la raíz cuadrada del tercer término. Pasos:
El trinomio debe estar ordenado y debe de contar con 3 términos.
Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término.
Calcular 2 veces el producto de ambas raíces respecto a la condición dada.
Colocar en unfactor ambas raíces con el signo que tiene el segundo término del trinomio y todo elevado al cuadrado.
Ejemplo:
Procedimiento: se verifica: que tenga 3 términos, que el primer y tercer término tengan raíz cuadrada exacta, que el segundo término sea el doble de la multiplicación de la raíz del primer y tercer término.
X2 + 6X + 9
X 3
2(X) (3)
(X – 2)2

CASO 5 – TRINOMIO DE LA FORMAX2+BX+C
Trinomio de II grado siempre con coeficiente 1 en su primer término. Pasos:
El trinomio se descompone en 2 factores binomios, cuyo primer término es x o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
En el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y en el segundo factor se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo por el tercer términodel trinomio.
Por simple inspección se encuentra 2 números que multiplicados den el coeficiente numérico del tercer término del trinomio y sumados den el segundo término del trinomio.
Ejemplo:
X2+5X+6 = (X + 3) (X + 2)
A2–17A+60 = (A – 12) (A – 5)

CASO 6 – TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C
Se multiplica y se divide todo por “a”
En el primer término se expresan los cuadrados.
En el segundo términosólo se indica la multiplicación.
En el tercer término si se efectúa la multiplicación.
Se busca 2 números que multiplicados den el coeficiente numérico del tercer término y sumados el del segundo término
Ejemplo: factorice: 6x2+7x+2 tiene la forma (ax2+bx+c)
6 ( X2 + 7X + 2) = 36x2 + 7x (6) + 12 = (6x + 3) (6x + 4) (aplica factor común) = 3(2x + 1) 2(3x + 2) = (2x + 1) (3x + 2)
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