Factorizadion

Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son números, sino polinomios. Y los factores son también polinomios. Ya no se factoriza dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m.Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya están factorizados.

EJEMPLO 1:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios (ya factorizados):

(x + 2)3.(x + 5).(x - 1)

(x + 2)2.(x + 5)2

m.c.m.= (x + 2)3.(x + 5)2.(x - 1)
Porque:

- Los factores que se pueden ver en la factorización de los polinomios son los siguientes:
(x + 2), (x - 1) y (x + 5). Eso es todo, otrosdiferentes no hay.

- El mayor exponente con que aparece el (x + 2) es 3, porque en el primer polinomio está (x + 2)3, y en el segundo polinomio está (x + 2)2. Obviamente, el exponente 3 es mayor que el exponente 2. Por eso, en el m.c.m. hay que poner (x + 2)3.

- El mayor exponente con que aparece (x + 5) es 2. Porque en el primer polinomio está
(x + 5) sin exponente (quiere decir que exponente es 1),y en el segundo polinomio está
(x + 5)2. Como 2 es mayor exponente que 1, en el m.c.m. hay que poner (x + 5)2.

- El factor (x - 1) aparece solamente en el primer polinomio, y está así sin elevar (significa que el exponente es 1). Así que no queda otra que ponerlo así, ya que no hay otro exponente con cual compararlo: es el mayor. Por eso en el m.c.m. hay que poner (x - 1).

Recordemos que en elm.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores", y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen en los polinomios. Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos polinomios primos, es decir, polinomios que ya no tienen factorización posible.
Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

x2 - 9 =
x2 + 6x + 9 =
x3 + 9x2 + 27x + 27 =

1)Hay que factorizar:

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) (Diferencia de Cuadrados)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 (Trinomio Cuadrado Perfecto)
x3 + 9x2 + 27x + 27 = (x + 3)3 (Cuatrinomio Cubo Perfecto)

2) Los polinomios, ya factorizados, son:

(x + 3).(x - 3)
(x + 3)2
(x + 3)3

3) Los factores: (x + 3) y (x - 3) son los únicos factores que hay en estospolinomios.

4) (x + 3): El mayor exponente con que aparece es 3, en el tercer polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces (x + 3)3
(x - 3): Aparece solamente en el primer polinomio, y está sin elevar (o sea que el exponente es 1). No está con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x - 3).

5) m.c.m.: (x + 3)3.(x - 3)

EJEMPLO 3:

Hallar el m.c.m entre los siguientespolinomios:

x5 - x3 =
x4 + 2x3 + x2 =

1) Factorizo:

x5 - x3 = x3.(x2 - 1) = x3.(x + 1).(x - 1) (Factor común y Diferencia de cuadrados)
x4 + 2x3 + x2 = x2.(x2 + 2x + 1) = x2.(x + 1)2 (Factor común y Trinomio cuadrado perfecto)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados, son:

x3.(x + 1).(x - 1)
x2.(x + 1)2

3) Los factores que aparecen son: x, (x + 1) y (x - 1)

4) x: El mayorexponente con que aparece es 3, en el primer polinomio. En el m.c.m. hay que poner entonces x3.
(x + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces (x + 1)2.
(x - 1): Aparece solamente en el primer polinomio y está sin elevar (o sea que el exponente es 1). No aparece con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x -1).

5) m.c.m.: x3.(x + 1)2.(x - 1)

EJEMPLO 4:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

2x2 - 8x + 8
4x + 8
3x + 6

1) Factorizo:

2x2 - 8x + 8 = 2.(x2 - 4x + 4) = 2.(x - 2)2 (Factor común y Trinomio cuadrado perfecto)
4x + 8 = 4.(x + 2) (Factor común)
3x + 6 = 3.(x + 2) (Factor común)

2) Los...