Falabella

Algebra Lineal
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MATRICES Y SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES 
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INTRODUCCION
Para el estudio de métodos numéricos es indispensable el conocimiento y manejo del álgebra lineal, ya que es la base en la solución de la gran mayoría de problemas que cotidianamente se presentan.
El programa que se utiliza para resolver métodos numéricos es el MATLAB; el cual se basa en operaciones dematrices y vectores; siendo esta otra de las razones para incluir el álgebra lineal en métodos numéricos.
El objetivo principal de este trabajo es comprender la parte básica del álgebra lineal como lo es la teoría de matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos.
Una vez explicada la teoría, se resolverán problemas, relacionados con el tema, en el MATLAB;escribiendo tanto el planteamiento del problema como su programa para MATLAB.
En este trabajo se comienza explicando como se realizan las operaciones básicas entre matrices y vectores, tales como suma, resta, multiplicación, inversa, etc.; para dar paso a la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos como lo son mediante:
 
• Cálculo de la inversa de la matriz A,
•Eliminación Gaussiana y
• Descomposición de la matriz A en LU.
Al final del trabajo se citan problemas y se resuelven con MATLAB utilizando los diferentes métodos que se mencionan en la teoría.
También se adiciona el programa que corre bajo MATLAB del cual se obtuvieron los resultados que aquí se citan.
 
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T E O R I A 
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MATRICES Y VECTORES
Una matriz es un arreglo rectangularde números, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas.
Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo:
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Así el elemento [pic]será aquel localizado en la fila "i" y en la columna "j".
Los vectores son formas especiales de las matrices. Si m> 1, pero n = 1, la matriz se convierte en:
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Con una sola columna, y se denomina vector columna.
Pero si la matriz es de m = 1 y n > 1 se convierte en vector fila.
Cuando solo hay una columna o una sola fila no es necesario utilizar dos subíndices, con un solo subíndice es suficiente.
En otro caso especial donde m = n = 1, la matriz de 1 x 1 se denomina escalar.
A continuación senumeran algunas definiciones de matrices importantes dentro del álgebra lineal.
MATRIZ CUADRADA:
Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de "n x n".
MATRIZ NULA:
Todos los elementos de la matriz son cero.
MATRIZ IDENTIDAD:
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son "1"; mientras que todos los demás elementos son cero.
Esto es:
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MATRIZTRANSPUESTA:
La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando las filas en el lugar de las columnas y las columnas en el lugar de las filas. Así si[pic],[pic].
Por ejemplo:
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[pic] [pic]
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal principal son ceros, esto es:
 
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MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
Es una matriz cuadrada en la quelos elementos por arriba de la diagonal superior son cero; esto es:
 
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OPERACIONES ENTRE VECTORES Y MATRICES 
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SUMA Y RESTA:
Podemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si ambas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y filas). Como los vectores son una forma especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores. Sea
 
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la suma yresta de matrices del mismo tamaño esta definida por:
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donde [pic]es una matriz con
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ejemplo:
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PRODUCTO VECTORIAL Y MATRICIAL
Sea;
 
[pic]y [pic]dos n-vectores;
entonces el producto de [pic](producto escalar), esta dado por:
 
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Debido a la notación empleada , el producto escalar de dos vectores a menudo recibe el nombre de producto punto o...