Familias de conjuntos

Familia de conjuntos

Xiomara Contreras
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación y TI
Enero 2013

Familia
Definición:
Una familia F es un conjunto tal que sus elementos
son conjuntos.Es decir,

F es

familia





x x  F

 x es



conjunto

Operaciones en familias de conjuntos
Definición(Unión):
Suponga F una familia, entonces la unión de F, es el
conjunto definido por:

F  {x : y( y  F  x  y)}
Alternativamente se puede indicar que:

x( x   F  y( y  F  x  y))

Definición(Intersección):
Suponga F una familia no vacía, entonces se define el
conjunto  Fpor:



F  {x : B( B  F  x  B)}

Alternativamente se puede indicar para una familia no
vacía F que:

x( x  ( F )  B( B  F  x  B)) ()

Proposición:
 es familia

Proposición: Dadas F,F1 familias cualesquiera

a) F  F1es

familia

b) F  F1es

familia

Ejemplo:

F  {, {}.{, {}}}

 F  {,{}}
F  

Proposición:
Sean A un conjunto y F, F1 familias cualesquiera.
Lossiguientes planteamientos se satisfacen (ver
texto de Yriarte):

a)BB  F  B  A   F  A



b)B B  F  B   F



c)(F    F1    F  F1  )  (( F )  ( F1)   (F  F1))
d ) F   F1  (F  F1)

Definición (familia indexada):
Suponga un conjunto de índices I tal que para cada
i I ( Ai es un conjunto). Entonces al conjunto F,

F  { A : i  I } ()
i
se
le
denomina
familiaindexada.
Alternativamente, se puede indicar que,

x( x  F  i(i  I  x  Ai ))

Para una familia indexada como en () se
representa la unión sobre F por:

 F   Ai  {x : i(i  I  x  A )}
i
iILa intersección sobre una familia indexada no
vacía de forma similar a como se definió en
() se indica por:

 F   A  {x : i(i  I  x  A )}
i
i
iI

Ejemplo:
Sea I=N (N es el conjunto de losnúmeros
Naturales). Para cada i en I, se define el
conjunto Ai por:

A  {x : x  N  (0  x  i)}}
i
Es decir, A0  {0}, A1  {0,1},...

.

Entonces,

 F   Ai  N
i0

F   A

i

i 0

 A0...