FARINANGOFERNANDA CONSULTA

UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
FICA – CIERCOM
Nombre: Fernanda Farinango
Fecha: 12. Nov.2015


GRADIENTE
 


 
 El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.
En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, nonecesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.

Definición
 
          El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:



siendo  un vector unitario y  la derivada direccional de  en la dirección de , queinforma de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:



Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:



Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso deloperador nabla:

  
Interpretación del Gradiente
 
  De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le está estudiando, en un punto cualquiera, llámese , ,  etcétera. Algunos ejemplos son:

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , latemperatura es . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
Considere una montaña en la cual su altura en el punto  se define como . El gradiente de H en ese punto estará enla dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.
   
Gradiente de un campo vectorial
 
En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de  un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento



Este tensor podrárepresentarse por una matriz  , que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.
 
Ejemplo 
Dada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es:

 
  


DIVERGENCIA
 
 La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficieque rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
 
La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:



Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. Elsímbolo  representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargaspositivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.
Se llaman fuentes escalares del campo  al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de 

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.
 
COORDENADAS CARTESIANAS
 
Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en...