farmacia

 Tema 7:

Introducción a la matemática financiera







A. Interés simple


Para cumplir sus necesidades, tanto las empresas como los individuos, generan entradas y salidas de capital, traducidos en préstamos, inversiones en fondos de inversión, amortizaciones, etc. Un elemento básico en estos movimientos es el interés considerado como la renta que se paga por el uso de uncapital (o principal).

En el interés simple, el beneficio o el pago producido por el principal en los periodos de capitalización no revierte para calcular nuevos intereses en nuevos periodos.

Definición 1 Elementos en el interés simple:
Co: capital inicial.
I: interés que produce el capital inicial.
Cf: capital final.
i: tasa de interés simple anual.
n: tiempo, en años, de laduración de la operación financiera.

En la temporalización del interés simple utilizamos las medidas comerciales, en las que un año consta de 360 días o de doce meses de 30 días.

Proposición 1 Fórmulas del interés simple:
I= Co· n· i → Cf= Co + I= Co + Co· n i= Co · (1+ni)

La tasa de interés simple se puede fijar para periodos no anuales. En ese caso, se trata de cambiar lasunidades de medida de n en las fórmulas anteriores.

Si llamamos y= Cf, x= i ó x= n, tendríamos una relación lineal entre x e y, y así, por ejemplo, los intereses generados por un principal en un periodo doble que otro serán el doble.

Ejemplo 1 Averigua el interés simple y el capital final que dan 10.000 euros al 4% anual durante 3 meses.

Disponemos de los siguientes datos:

Co= 10.000euros; i= 4%= 0’04; n= 3 meses= 3/12 años.

Dadas las fórmulas del interés simple tendremos:

I= Co n i= 10.000 · 0’04 · 3/12= 100 euros.
Cf = Co + I= 10.000 +100= 10.100 euros.


Ejemplo 2 Se dispone de un capital de 30.000 euros que ha dado lugar, a una tasa simple del 5% anual, a 33.750 euros. Averigua el tiempo de la operación financiera.
Datos del problema:
Co= 30.000 euros;i= 5%= 0’05; Cf= 33.750, es decir, I= Cf – Co =3.750.
Como Cf = Co(1+ni) tenemos que:
33.750 = 30.000 (1+ 0’05n); (1+0’05n)= 33.750/30.000= 1’125; 0’05n=0’125;
Por tanto, n= 0’125/0’05= 2’5 años.


Ejemplo 3 Disponemos de 2.400 euros que se convierten en 2.715 euros al cabo de dos años y medio. Averigua la tasa de interés simple.

Datos : Co= 2.400 euros; Cf= 2.715euros; I= Cf – Co =315.

A partir de la fórmula del interés simple I= Co n i obtenemos:

315= 2.400· i· 2’5; 315=6.000i; i= 315/6.000=0’0525= 5’25%


Ejemplo 4 Encuentra los intereses que ha dejado un capital prestado durante 6 años a un interés simple anual del 9% sabiendo que el capital final ha sido de 30.000 euros.

Datos: Cf = 30.000 euros; i= 9%=0’09; n= 6.Como Cf = Co(1+ni) tenemos que:

30.000 = Co (1+ 0’09· 6); 30.000 =1’54 Co ; Co = 30.000/1’54= 19.481 euros.

Luego I= 30.000-19.481= 10.419 euros.
B. INTERÉS COMPUESTO


Por interés compuesto se entiende que al final del periodo de capitalización, el interés generado es agregado al capital (principal), de modo que genera también intereses en el nuevo periodo. Los elementosque intervienen van a ser los mismos que en el interés simple.

Proposición 2 Fórmulas del interés compuesto:
I= Co· i (interés anual)
C1= Co + I= Co + Co i= Co · (1+·i) (capital final al cabo de un año).
C2= C1 +I= C1 + C1 i= C1 · (1+·i)= Co· (1+·i)2 (capital al cabo de dos años).
…………………………………………………………………………………………………
Cf = Co· (1+·i)n (capital final al cabo de n años).

Nota:Si llamamos y = C(n) y x = n, existe una relación exponencial entre x e y.


Ejemplo 5 Halla el interés compuesto que dan 10.000 euros al 4% anual en 3 años.

Datos: C0= 10.000 euros; i= 4%=0’04; n= 3 años.

Como Cf = Co(1+i)n tenemos que:

Cf =10.000 (1+ 0’04)3 =11.248’64 euros.

Luego I= 11.248’64-10.000= 1.248’64 euros.


Ejemplo 6 En un plan de jubilación nos...