FASICULO_PRODUCTO_INTERNO
Páginas: 4 (761 palabras)
Publicado: 7 de noviembre de 2015
FASÍCULO:
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Teorema.
Sea
un espacio vectorial sobre
y sea
un producto interno en
; entonces,
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ejemplo: Sean el espacio vectorial
con el productointerno definido por
,
Si
son los ángulos entre los vectores
Obtener
*Solución.
.
y los vectores
y
y los vectores
y
respectivamente.
-
Condición de Ortogonalidad.
Con un producto internocomplejo:
*No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue
tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria.Ejemplo:
Sea
un espacio con producto interno complejo y
tales que
y
.
Determinar
Elevando al cuadrado:
Norma de un vector.
Definición.
Sea
un espacio vectorial sobre
de
, y se representa con
Siy sea
un producto interno en . Se llama norma
, al número real no negativo definido por
Propiedades (Teorema)
es un espacio vectorial con producto interno, entonces
y
:
i)
ii)
iii)
iv)
Distanciaentre dos vectores.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno, y sean
, y se representa con
al número real definido por
. Se llama distancia de
a
-
Propiedades
(Teorema).
Sies un espacio vectorial con producto interno, entonces
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ángulo entre vectores.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno real, y sean
. Se llama ángulo entre
ydos vectores no nulos de
al número real , en el intervalo
, tal que
Ortogonalidad.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores
son ortogonales si
.
Teorema dePitágoras (Teorema).
Sea
un espacio vectorial con producto interno y sean
. Si
son ortogonales
entonces:
Definición.
Sea
un espacio con producto interno y sea
de . Se dice que
Si además
es unconjunto ortogonal cuando
, el conjunto
es ortonormal.
un conjunto de vectores
Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea
Entonces
, donde
En particular, si B es una base ortonormal...
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Teorema.
Sea
un espacio vectorial sobre
y sea
un producto interno en
; entonces,
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ejemplo: Sean el espacio vectorial
con el productointerno definido por
,
Si
son los ángulos entre los vectores
Obtener
*Solución.
.
y los vectores
y
y los vectores
y
respectivamente.
-
Condición de Ortogonalidad.
Con un producto internocomplejo:
*No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue
tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria.Ejemplo:
Sea
un espacio con producto interno complejo y
tales que
y
.
Determinar
Elevando al cuadrado:
Norma de un vector.
Definición.
Sea
un espacio vectorial sobre
de
, y se representa con
Siy sea
un producto interno en . Se llama norma
, al número real no negativo definido por
Propiedades (Teorema)
es un espacio vectorial con producto interno, entonces
y
:
i)
ii)
iii)
iv)
Distanciaentre dos vectores.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno, y sean
, y se representa con
al número real definido por
. Se llama distancia de
a
-
Propiedades
(Teorema).
Sies un espacio vectorial con producto interno, entonces
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ángulo entre vectores.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno real, y sean
. Se llama ángulo entre
ydos vectores no nulos de
al número real , en el intervalo
, tal que
Ortogonalidad.
Definición.
Sea
un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores
son ortogonales si
.
Teorema dePitágoras (Teorema).
Sea
un espacio vectorial con producto interno y sean
. Si
son ortogonales
entonces:
Definición.
Sea
un espacio con producto interno y sea
de . Se dice que
Si además
es unconjunto ortogonal cuando
, el conjunto
es ortonormal.
un conjunto de vectores
Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea
Entonces
, donde
En particular, si B es una base ortonormal...
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