Fasores

EJERCICIOS FASORES EJERCICIO 1.- Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie, suponiendo que contiene dos elementos. La tensión y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente.

v (t) = 50 sen ( 2.000 t - 25 ° ) i (t) = 8 sen ( 2.000 t + 5 ° )
RESOLUCIÓN: Al estar dadas la tensión y corriente con sus respectivas fases, el origende tiempos está perfectamente determinado. Hay que hacer notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia. Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son:

V=

50 ∠ - 25° ( V ) 2 8 I= ∠ 5° ( A ) 2

Aplicando la definición de impedancia se tiene:

50 ∠ - 25 ° 50 2 Z= = ∠ - 30 ° = 5,4 - j 3,1 ( Ω ) 8 8 ∠ 5 ° 2
que corresponde a una resistencia y un condensador conectados enserie, cuyos valores vienen dados por:

R = 5,4 Ω

C=

10 = 160 µF 3,125 x 2.000

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En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que el circuito es capacitivo ya que la tensión está retrasada respecto de la corriente.

El origen de tiempos puede ser cambiado. Si se toma como origen de tiempos un punto cero de la corriente,el diagrama fasorial será el mostrado en primer lugar en la figura siguiente. Si se toma como origen de tiempos la tensión el diagrama fasorial será el segundo de los representados.

Pero en ambos casos, el desfase tensión - corriente es el mismo ya que está impuesto por el argumento de la carga.

EJERCICIO 2.- Un circuito serie de tres elementos contiene una bobina de una autoinducción L =0,02 henrios. La tensión aplicada y la corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la figura. Sabiendo que ω = 500 rad/s, determinar los otros dos elementos del circuito.

RESOLUCIÓN: La impedancia del circuito compuesto por los tres elementos será:

Z=

250 ∠ - 45 ° = 31,61 ∠ 71,50 ° = 10 + j 30 ( Ω ) 7,91 ∠ ( 180 ° + 63,5 ° ) X L = 30 Ω

por tanto, el circuito está formadopor una resistencia de: R = 10 Ω y una reactancia inductiva total de:

X L1 = 0,02 x 500 = 10 Ω el tercer elemento será una bobina cuya reactancia vendrá dada por: X L2 = 30 - 10 = 20 Ω a la que le corresponde un coeficiente de autoinducción L2 dado por: X L2 = ω L2 L 2 = 0,04 H
Como uno de los elementos es una bobina de L = 0,02 henrios, siendo su reactancia de: EJERCICIO 3.- Un circuitoserie se compone de una resistencia R = 8 ω y un condensador con una capacidad C = 30 μF. ¿ A qué frecuencia la corriente adelanta un ángulo de 30º respecto de la tensión ?.

RESOLUCIÓN: La reactancia XC del condensador viene dada por: X C = La impedancia del conjunto serie R-C se expresa como:

10 Ω 2 x π x f x 30 Z=8- j 10 Ω 2 x π x f x 30
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Como el argumento de la impedancia es igualal desfase entre la tensión y la corriente se tiene que:

10 2 x π x f x 30 tg 30 ° = 8

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f = 1.150 Hz

EJERCICIO 4.- El ángulo de fase de la impedancia de un circuito serie R-C es de - 45º a una frecuencia f1 = 500 Hz. Hallar la frecuencia a la que el módulo de la impedancia es: (a) el doble que para el valor de f1, (b) la mitad que para el valor de f1. RESOLUCIÓN: La impedancia seexpresa por:

Z= R- j XC tg ( - 45 ° ) = X C R R= X C

A la frecuencia f1 su argumento es de - 45º, es decir:

Z = R - j R = 2 R ∠ 45 °
(a) Para la frecuencia f2 a la cual el módulo es el doble del anterior se tiene: por tanto:

Z 1 = R - j X C′

| Z 1 |=

2 2 R + X C′

2 2 R=

2 2 R + X C′

X C′ = R

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1 1 X C′ = 2 π 500 C 2π f 2 C X C = R = 2π f 2 C f 2 = 189 Hz se obtiene: XC ′ R 7 2 π 500 C
Teniendo en cuenta que:

XC=

(b) Para la frecuencia f3 a la cual el módulo es la mitad que para f1 se tiene:

Z 2 = R - j X C ′′

R 2

2

=

2 2 R + X C ′′

R 2 X C ′′ = 2

2

lo que es imposible. Por tanto, no existe ninguna frecuencia para la cual el módulo de la impedancia sea la mitad que para la frecuencia f1.

EJERCICIO 5.- Hallar las sumas de las...