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Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada.
Valores propios y vectores propios
El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejesprincipales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.
Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de  tales que.

Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n. Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio, y luego aplicaremos un método de hallar las raíces delpolinomio. Este procedimiento es apropiado cuando se presentan valores propios que no son reales sino complejos.
Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valor propio  es necesario resolver el sistema homogéneo

donde el vector X es Siempre podemos tomar x0 como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1,y resolver el sistema lineal.

El método de Leverrier
Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. El polinomio característico de la matriz es

Los coeficientes se hallan mediante las siguientes relaciones

Los valores s1, s2, ... sn son las trazas de las potencias de la matriz cuadrada A.

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal.

POLINOMIOCARACTERÍSTICO

polinomio característico y encontrar sus raíces. Cada raíz de será un valor propio de . Los vectores propios pueden obtenerse directamente . Debido a que los valores propios resultan ser las raíces del polinomio característico, éstos pueden ser reales o complejos, diferentes o repetidos.
Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:  


Determinación de los valoresy vectores característicos de una matriz cuadrada.
Los valores y vectores característicos también son conocidos como valores y vectores propios, son valores especiales que se calculan a una matriz en el que intervine los términos como determinante, polinomio característico y ecuaciones de infinitas soluciones.
Sea una transformación lineal . Un escalar es un valor propio si existe unvector no nulo tal que .
Cualquier vector no nulo que satisfaga
| (EC.1) |
es un vector propio asociado con el valor propio .
La definición implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la transformación lineal que amplificarlo por el escalar . Esto implica que un vector y el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto linealmente dependientes.
TEOREMAes un valor propio de s y sólo si satisface la ecuación
| (EC.2) |
donde es la matriz identidad de igual orden que
Como el determinante de una matriz no se afecta al multiplicar ésta por un escalar no nulo, podemos escribir
| (EC.2.1) |
Diagonalización de matrices simétricas, Diagonalización ortogonal.
Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matrizdiagonal D tal que A es semejante a D.
Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A.
TEOREMA:Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por

λ 1 0 0 … 0
0 λ2 0 … 0...