Fatorizacion

Lección 6: Factorización de Casos Especiales
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 ©

Objetivos de la Lección
Al finalizar esta lección los estudiantes: • Identificarán polinomios que representan una Diferencia de Cuadrados, una Suma o Diferencia de Cubos, y Trinomios Cuadráticos Perfectos. • Factorizarán polinomios que representan productos especiales: Diferencia de Cuadrados, Diferencia deCubos, Suma de Cubos y Trinomio Cuadrático Perfecto. • Factorizarán polinomios usando la estrategia de Agrupación conjuntamente con Trinomios Cuadráticos Perfectos o Diferencia de Cuadrados.

Introducción
• En la lección 2 estudiamos la multiplicación de polinomios y conocimos los patrones que se forman cuando tenemos productos especiales. • Algunos de los productos especiales que estudiamosfueron:
– Cuadrado de una Suma o una Resta – Diferencia de Cuadrados

• En cada uno de esos productos se obtiene como resultado un polinomio que representa un método de factorización. • En esta lección conoceremos los métodos de factorización que se relacionan con estos productos especiales.

Trinomios Cuadráticos Perfectos

Explorando la factorización de Trinomios Cuadráticos PerfectosFactoriza los polinomios a continuación por el método de Trinomios Cuadráticos:

x2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 x2 - 8x + 16 = (x - 4) 2 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3) 2 25x2 - 20x + 4 = (5x - 2) 2 16x4 + 8x2 + 1 = (4x2 + 1) 2
Después de factorizarlos en tu libreta, haz clic para ver resultados

¿Qué patrón observas en el resultado?
x2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2x2 - 8x + 16 = (x - 4) 2 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3) 2 25x2 - 20x + 4 = (5x - 2) 2 16x4 + 8x2 + 1 = (4x2 + 1) 2
Observa que los trinomios están ordenados en forma descendente.

La factorización produce el Cuadrado de una Suma o el Cuadrado de una Resta. Estos representan dos productos especiales que estudiamos previamente.

Recuerda
• El producto especial Cuadrado de una Suma o Cuadrado de unaResta se puede representar con la siguiente fórmula: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Producto Especial: Cuadrado de una Suma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • Para elevar al cuadrado una suma, cuadramos el primer término (a2), añadimos luego el doble del producto de ambos términos (2ab), y finalmente sumamos el cuadrado del segundo término (b2).

Producto Especial: Cuadrado deuna Resta
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • Para elevar al cuadrado una resta, cuadramos el primer término (a2), añadimos luego el doble del producto de ambos términos (-2ab), y finalmente sumamos el cuadrado del segundo término (b2).

Reflexión
• Si tenemos un trinomio cuadrático y deseamos obtener los factores que se multiplican para obtener ese polinomio, sin tener que factorizar por el método deTrinomios Cuadráticos, ¿qué debemos hacer? • Observa que podemos usar el conocimiento de los patrones que se forman para obtener los factores sin tener que factorizar por trinomios cuadráticos. • Veamos….

¿Cómo son el primer término y el último término de cada trinomio cuadrático?
x2 + 6x + 9 = x2 + 10x + 25 = x2 - 8x + 16 = 4x2 + 12x + 9 = 25x2 - 20x + 4 = 16x4 + 8x2 + 1 = (x + 3) 2 (x + 5)2 (x - 4) 2 (2x + 3) 2 (5x - 2) 2 (4x 2 + 1) 2
Haz clic para ver los cuadrados perfectos.

- El primer y tercer término de cada trinomio cuadrático son cuadrados perfectos. - Observa también que ambos términos son positivos.

¿Cómo son el primer término y el último término de cada trinomio cuadrático?
x2 + 6x + 9 = x2 + 10x + 25 = x2 - 8x + 16 = 4x2 + 12x + 9 = 25x2 - 20x + 4 = 16x4 + 8x2 +1 = (x + 3) 2 (x + 5) 2 (x - 4) 2 (2x + 3) 2 (5x - 2) 2 (4x 2 + 1) 2

- El primer y tercer término de cada trinomio cuadrático son cuadrados perfectos. - Observa también que ambos términos son positivos.

¿Qué relación hay entre el término del medio y los otros dos términos?
x2 + 6x + 9 = x2 + 10x + 25 = x2 - 8x + 16 = 4x2 + 12x + 9 = 25x2 - 20x + 4 = 16x4 + 8x2 + 1 = (x + 3) 2 (x + 5) 2...