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Páginas: 2 (488 palabras) Publicado: 15 de octubre de 2011
XLVI Olimpiada Matem´tica Espa˜ola a n
Primera Fase Primera sesi´n o Viernes tarde, 15 de enero de 2010
Olimpiada Matemática Española

RSME

1. Se considera un tri´ngulo equil´tero de lado 1 ycentro O, como el de la a a figura. A

O B C

Un rayo parte de O y se refleja en los tres lados, AB, AC y BC, (en el orden dado), hasta alcanzar el v´rtice A. e Determina la longitud m´ ınima delrecorrido del rayo. ´ Nota: Cuando el rayo se refleja en un lado, los angulos de entrada (incidencia) y salida (reflexi´n) coinciden. o 2. Calcula las soluciones reales de la ecuaci´n: o √ 4 97 − X + √ 4X = 5.

3. Dado el polinomio P (X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + , en el que cada cuadrado representa un hueco donde se colocar´ un coeficiente, se plantea el a siguiente juego entre dos jugadores:Alternativamente, el primer y el segundo jugador eligen un hueco vac´ y colocan en ´l un entero no nulo hasta rellenar ıo e todos los cuatro huecos. Si el polinomio resultante tiene al menos dos ra´ ıcesenteras gana el segundo jugador, en otro caso el ganador es el primero. Prueba que, eligiendo la estrategia adecuada, el primer jugador siempre puede ganar.

No est´ permitido el uso de calculadoras. aCada problema se punt´ a sobre 7 puntos. u o El tiempo de cada sesi´n es de 3 horas y media.

XLVI Olimpiada Matem´tica Espa˜ola a n
Primera Fase Segunda sesi´n o S´bado ma˜ana, 16 de enero de2010 a n
Olimpiada Matemática Española

RSME

4. Supongamos que tenemos un tablero con diecis´is casillas dispuestas en cuae tro filas y cuatro columnas. (a) Prueba que se pueden colocar sietefichas, nunca dos en la misma casilla, de forma que al eliminar dos filas y dos columnas cualesquiera, siempre quede alguna ficha sin eliminar. (b) Prueba que si se colocan seis fichas, nunca dos en la mismacasilla, siempre se puede eliminar dos filas y dos columnas de forma que todas las fichas sean eliminadas. 5. Se considera un tetraedro regular como el de la figura. Si el punto E recorre la arista AB....
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