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Sistema de primer orden
Los sistemas de primer orden son los que tienen un solo elemento almacenador de energía y su función de trasferencia
Se puede modelar por la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

Para calcular su función de transferencia aplicamos transformada de laplace y consideramos la condición inicial nula

Una vez aplicada la transformada a cada uno de los términosde la ecuación diferencial tenemos:

Factorizando y escribiendo en forma de función de transferencia.


La función de transferencia también puede ser escrita de la siguiente forma

,
La constante es la ganancia de estado estacionario, la cual nos entrega el valor que toma la respuesta del sistema para un tiempo tendiendo a infinito. La constante es la constante de tiempo, la cual nosindicara el tiempo en el cual el sistema tiene un 63,21% del valor en estado estacionario. Se puede observar que este tipo de sistemas tiene un polo que es





Análisis de la respuesta transitoria de un sistema de primer orden.
Se utilizará como ejemplo de sistema de primer orden un sistema formado por un termómetro que esta a una temperatura ambiente θa y se le sumerge en un baño contemperatura θa +θb.




Considérese que el sistema está linealizado (ver apartado 2.4 en el tema 2) en torno a la temperatura ambiente a θ y que la diferencia instantánea de la temperatura respecto al ambiente es θ (t) así que en t = 0 θ (0) = 0.
En general, los valores de los parámetros térmicos de un sistema se encuentran distribuidos a lo largo de las sustancias. Para un análisis preciso hay querecurrir a modelos de parámetros distribuidos. No obstante, para simplificar el análisis, se supondrá que es posible representar las características térmicas del sistema mediante un modelo de parámetros concentrados. Se considera que el sistema termómetro-líquido está caracterizado por una resistencia térmica R (medida en grados por vatio) que se opone al flujo de calor wi (medido en julios porsegundo), y el termómetro está caracterizado por su capacidad térmica C (medida en julios por grado) que indica la energía calorífica necesaria para que el termómetro aumente su temperatura un grado. Por tanto, ya que la temperatura alcanzada por el termómetro depende de la energía calorífica acumulada y ésta, a su vez, varía con el flujo de calor entrante wi, es posible escribir: c = wi Además,el flujo de energía calorífica depende de la diferencia de temperatura entre el termómetro y el líquido, es decir: wi En consecuencia es posible escribir la siguiente ecuación diferencial:
RC = +
La cual representa un sistema de primer orden. Está claro que el modelo de estado
Coincide con esta misma ecuación. La función de transferencia es:


Respuesta a la señal escalón
Considérese elcaso en que la temperatura del baño se mantiene constante o sea cte b θ = y el termómetro se deja sumergido en el líquido a partir de t = 0. La constante de tiempo τ del sistema se define como τ = RC.
Se trata de encontrar la respuesta cuando la señal de entrada responde a la señal escalón:
θb (t) =
Como θ (0) = 0 solo hay que considerar la respuesta forzada
=
Dado que θb (t) =θb u (t) setrata de una Función Escalón: Θb (S) =
Por tanto
Θb (S) = θb→Expansión en Fracciones Simples.
Haciendo la Transformada Inversa de Laplace:
(t) = b t ≥ 0
Se comprueba que en t = 0  (0)= (1-e°) b= 0 Y el valor final para t = ∞ (t) = b = b
El valor en equilibrio se alcanza cuando = 0 por lo tanto sustituyendo en la ecuación diferencial θe =θb. Lo cualcoincide con el resultado de aplicar el teorema del valor final.
La gráfica que representa el resultado obtenido es la siguiente:






Respuesta a la señal escalón de un sistema de primer orden con C.I. nulas
Una de las características más importantes es que para t =τ θ(τ) = 0,632θb; o sea se alcanza el 63,2 % de la temperatura final.
Si el sistema hubiese tenido condiciones iníciales no...