Fcoerciva

Cap´ ıtulo 2 Optimizaci´n cl´sica: Programas sin o a restricciones.
Un problema de optimizaci´n sin restricciones tiene el aspecto o Max. (o Min.) f (X) s. a X ∈ IRn El conjunto factible es todo IRn . La condici´n X ∈ IRn no supone ninguna restricci´n o o y habitualmente la omitiremos, escribiendo simplemente Max. (o Min.) f (X) Este tipo de problemas ya han sido estudiados parcialmente por elalumno en las Matem´ticas II, en donde se estudia c´mo hallar los m´ximos o m´ a o a ınimos locales de una tal funci´n. (Aunque en un problema de optimizaci´n lo que realmente buscamos son o o los m´ximos y m´ a ınimos globales). La forma de buscar los m´ximos y m´ a ınimos globales es comprobar previamente si nuestra funci´n cumple alg´n requisito que garantice la existencia de m´ o u ınimo globalo m´ximo global. a En este sentido, el hecho de que la funci´n sea coerciva, anticoerciva, c´ncava o convexa o o puede ser de gran ayuda. En todo lo que sigue supondremos que las funciones que manejamos son continuas y que tienen derivadas parciales continuas, al menos hasta el segundo orden, es decir, que son de clase C 2 en IRn . Empezamos haciendo un breve repaso de lo que se vio enMatem´ticas II. a

´ ´ 2CAP´ ITULO 2. OPTIMIZACION CLASICA: PROGRAMAS SIN RESTRICCIONES.

2.1.
2.1.1.

B´ squeda de m´ximos y m´ u a ınimos locales. (Repaso)
Puntos cr´ ıticos. Condici´n necesaria de m´ximo o m´ o a ınimo local.

Sea una funci´n f : S → IR, siendo S ⊆ IRn un conjunto abierto1 , f ∈ C 1 (S). o Si f tiene un m´ximo local o un m´ a ınimo local en el punto Po ∈ S, entonces: f (Po ) =O es decir ∂f (Po ) = 0, ∂x1 ∂f ∂f (Po ) = 0, · · · · · · , (Po ) = 0 ∂x2 ∂xn

Los puntos Po para los cuales f (Po ) = O se llaman puntos cr´ ıticos de la funci´n f . o Son los unicos puntos donde puede haber m´ximos o m´ ´ a ınimos locales de la funci´n. o

2.1.2.

Condici´n suficiente de m´ximo o m´ o a ınimo local.

En la misma situaci´n, y suponiendo que f ∈ C 2 (S), sea Po un punto cr´o ıtico de f . Sea Hess(f ) (Po ) la matriz hessiana de f en dicho punto. Entonces: 1. Si Hess(f ) (Po ) es Definida Positiva, entonces f tiene un m´ ınimo local en el punto Po . 2. Si Hess(f ) (Po ) es Definida Negativa, entonces f tiene un m´ximo local en el a punto Po . 3. Si Hess(f )(Po ) es Indefinida, entonces f tiene un punto de silla2 en el punto Po . 4. Si Hess(f ) (Po ) es SemidefinidaPositiva o Semidefinida Negativa, entonces el criterio no decide. Ejemplo.- Para la funci´n definida en IR2 : o f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
Un conjunto S ⊂ I n es abierto cuando no contiene a ninguno de sus puntos frontera, es decir, R cuando F r(S) ∩ S = φ. En particular, IRn es abierto. 2 Se llama “punto de silla” a cualquier punto cr´ ıtico que no sea ni m´ximo local ni m´ a ınimo local.
1´ ´ 2.1. BUSQUEDA DE MAXIMOS Y M´ INIMOS LOCALES. (REPASO)

3

vamos a hallar sus puntos cr´ ıticos. Calcularemos tambi´n la matriz hessiana y la evaluae remos en cada punto cr´ ıtico para dilucidar si se trata de un m´ximo local, un m´ a ınimo local o un punto de silla. Calculamos las derivadas parciales de primer orden: f (x, y) = Resolvemos el sistema
∂f ∂x

,

∂f ∂y

=

6x2 + y2 + 10x , 2xy + 2y

6x2 + y 2 + 10x = 0 2xy + 2y = 0

La segunda ecuaci´n, 2xy +2y = 2y(x+1) = 0 nos dice que debe ser y = 0 ´ x = −1 . o o Entramos en la primera ecuaci´n con cada una de estas posibilidades. o Caso 1: Si y = 0, entonces 6x2 + 10x = 0, es decir, x(6x + 10) = 0, de donde debe ser x = 0 ´ x = −10/6 = −5/3. o Tenemos as´ los puntos cr´ ı ıticos y = 0, x = 0, es decir, P1 = (0, 0)e y = 0, x = −5/3, es decir, P2 = (−5/3, 0) . Caso 2: Si x = −1, entonces 6 + y 2 − 10 = 0, es decir, y 2 = 4, o sea y = ±2. Tenemos as´ dos nuevos puntos cr´ ı ıticos: P3 = (−1, 2) y P4 = (−1, −2) . En definitiva, los puntos cr´ ıticos son: P1 = (0, 0), P2 = (−5/3, 0), P3 = (−1, 2), P4 = (−1, −2)

Para clasificar cada uno de estos puntos cr´ ıticos como un m´ximo local, un m´ a ınimo local o...