Fdfdfadf

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

C´lculo Diferencial en una Variable
a

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Febrero 2005

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centrode An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´ disponible en la p´gina web
a
a
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´plica en un servidor externo a la Universidad Central de
e
Venezuela, el v´
ınculo se encuentra indicado en esa misma p´gina web.a

Pr´logo
o

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la primera parte del curso de
An´lisis I de la Licenciatura en Matem´tica de la Universidad Central de Venezuela y son el
a
a
resultado de la experiencia de los autores en el dictado de dicho curso.
En este curso se debe dar una visi´n rigurosa del c´lculo en una variable.
o
a
Los siguientes temas son tratados enforma exhaustiva:
(1) Los n´meros reales. Axiomas. Propiedades de orden. Supremo. Completitud. Nuu
merabilidad.
(2) Topolog´ de la recta. Intervalos. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos de acumuıa
laci´n. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Conjuntos cerrados. Conjuntos compactos.
o
Teorema de Heine-Borel. Conjuntos conexos.
(3) Sucesiones. Convergencia. Sucesiones de Cauchy. Sucesionesmon´tonas. Subsuceo
siones. L´
ımites superior e inferior de una sucesi´n. El n´mero e.
o
u
(4) L´
ımites y continuidad de funciones. Funciones continuas en abiertos y cerrados.
Condiciones necesarias y suficientes para continuidad. Continuidad y compacidad.
Continuidad uniforme y el teorema de Heine. Discontinuidades. Funciones mon´too
nas.
(5) Derivada de una funci´n real. Teorema del valormedio. Funciones inversas. Derivao
das de orden superior y el teorema de Taylor.

Se han incorporado dos cap´
ıtulos adicionales. En el primero se estudia el m´todo de la
e
tangente de Newton y en el segundo se desarrolla, a manera de ejercicio, la construcci´n del
o
conjunto de los n´meros reales mediante el m´todo de sucesiones de Cauchy.
u
e

iii

iv

Aunque la definci´n rigurosade las funciones exponencial, logar´
o
ıtmica y trigonom´tricas
e
se hace en la segunda parte del curso, usamos estas funciones y sus propiedades, suponiendo
un conocimiento previo intuitivo.
Tanto el trabajo de mecanograf´ como la elaboraci´n de los gr´ficos estuvo a cargo de
ıa
o
a
los autores. Agradecemos cualquier observaci´n o comentario que deseen hacernos llegar.
o
Ram´n Bruzual.o
Marisela Dom´
ınguez.
Febrero 2005.

´
Indice general
Cap´
ıtulo 1. Los n´meros reales.
u

1

1. Introducci´n.
o

1

2. Definici´n axiom´tica del conjunto de los n´meros reales.
o
a
u

3

3. Orden y n´meros reales positivos.
u

6

4. Supremo.

9

5. Cardinalidad del conjunto de los n´meros reales.
u

11

Ejercicios.
N´meros reales.
u

14

Cap´ıtulo 2. Topolog´ de la recta.
ıa

17

1. Intervalos. Conjuntos abiertos.

17

2. Punto de acumulaci´n de un conjunto.
o

19

3. Conjuntos cerrados.

21

4. Conjuntos compactos.

22

5. Conjuntos conexos.

22

Ejercicios.
Topolog´ de la recta.
ıa

25

Cap´
ıtulo 3. Sucesiones.

29

1. Definiciones b´sicas.
a

29

2. Convergencia.

31

3. Sucesiones deCauchy.

34

4. Sucesiones mon´tonas y el axioma del supremo.
o

36

5. Teorema de Bolzano-Weierstrass.

37

6. Completitud de R.

39

7. Teorema de Heine-Borel.

39

8. Operaciones con sucesiones.

40

9. L´
ımites infinitos.

42

10. L´
ımite superior y l´
ımite inferior.

43

11. El n´mero e.
u

47
v

´
INDICE GENERAL

vi

Ejercicios.
Sucesiones....