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Determinantes

Si una matriz es cuadrada, es decir, si tiene el mismo número de renglones que de columnas, entonces podemos asignarle un número llamado determinante. Mediante determinantes podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales. También son de utilidad para determina si una matriz tiene una inversa.

Es una función que se asigna a una matriz de orden un único número real llamadoel determinante de la matriz, si es una matriz de orden el determinante de la matriz lo denotaremos
ó

Determinante de una Matriz de 2x2



Ejemplo 1.

Determinante de una matriz 2x2


Evalúe

Solución:














Determinante de una matriz n x n

Para definir el concepto de determinante para una matriz arbitraria se necesitan lostérminos siguientes:

Sea una matriz .

1. El menor del elemento es el determinante de la matriz obtenido al eliminar el renglón y la columna de
2. El cofactor del elemento es


Por ejemplo si es la matriz



Entonces el menor es el determinante de la matriz que se obtiene luego de borrar el primer renglón y la segunda columna de Por lo tanto,




Entonces, elcofactor De igual manera,



Así que,

Obsérvese que el cofactor de es simplemente el menor de multiplicado por 1 o -1, lo cual depende de si es par o impar. Por lo tanto, en una matriz obtenemos el cofactor de cualquier elemento anteponiendo a su menor el signo obtenido del siguiente diagrama:



Ahora ya estamos listos para definir el determinante de cualquier matriz cuadrada.Determinante de una matriz cuadrada

Si A es una matriz entonces el determinante de A se obtiene multiplicando cada elemento del primer renglón por su cofactor, y sumando luego los resultados. En símbolos,



Ejemplo 3. Determinante de una matriz

Evalúe el determinante de la matriz.











En la definición de determinante usamos sólo los cofactores de los elementos delprimer renglón. Este procedimiento se denomina expansión del determinante a partir del primer renglón. En efecto, podemos expandir el determinante en cada caso (aunque no lo demostraríamos). El ejemplo siguiente ilustra este principio.

Ejemplo 4. Expansión de un determinante con respecto a un renglón y a una columna

Sea la matriz del ejemplo 2. Evalúe el determinante de expandiendoa) A partir del segundo renglón
b) A partir de la tercera columna.

Verifique que cada expansión dé el mismo valor

Solución:

a) Al expandir a partir del segundo renglón tenemos:







b) Al expandir a partir de la tercera columna tenemos









En ambos casos llegamos al mismo valor del determinante, como cuando expandimos a partir del primer renglón del ejemplo 2.
Elcriterio siguiente permite que determinemos si una matriz cuadrada tiene una inversa sin calcular realmente la inversa. Este es uno de los más importantes usos del determinante en el álgebra de matrices, y es la razón del nombre determinante.

Criterio de inversibilidad
Si es una matriz cuadrada, entonces tiene una inversa si y sólo si


Ejemplo 5. Uso del determinante para mostrar queuna matriz no es invertible
Demuestre que la matriz no tiene inversa.


Solución:
Empezamos por calcular el determinante de A. Puesto que todos menos uno de los elementos de segundo renglón son cero, expandimos el determinante a partir del segundo renglón. Si así lo hacemos, de acuerdo con la siguiente ecuación vemos que sólo el cofactor tendrá que ser calculado.




Como eldeterminante de es cero, no puede tener una inversa, de acuerdo con el criterio de inversibilidad.
Transformación de renglones y columnas
El ejemplo anterior muestra que si expandimos un determinante con respecto a un renglón o una columna que contiene muchos ceros, el trabajo se reduce en forma notable porque no tenemos que evaluar los cofactores de los elementos que son cero. Con frecuencia, el...