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UNIVERSIDAD NACIONAL
DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
Departamento Académico de Ciencias Básicas,
Humanidades y Cursos Complementarios

METODOS NUMERICOS
(MB –536)

SOLUCION DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
Profesores:
Garrido Juárez, Rosa
Castro Salguero, Robert
Obregón Ramos, Máximo

2009- 1

Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de IngenieríaMecánica
DACIBAHCC

EDO
PA. 2009-1

Soluciones Numéricas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Muchos problemas en la Ingeniería y otras ciencias pueden ser formulados en términos
de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, trayectorias balísticas, teoría de satélites
artificiales, estudio de redes eléctricas, curvaturas de vigas, estabilidad de aviones,
teoría de vibraciones, reaccionesquímicas y otras aplicaciones, de aquí la importancia
de su solución.
Objetivo: Estudiar los métodos numéricos que permitan obtener soluciones numéricas
aproximadas de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs).
Trataremos los métodos para resolver el problema del valor inicial y también el valor
frontera.
Métodos de solución de EDO’s – Problema del Valor Inicial
La ecuación: u ′(t ) = f (t , u(t )),
t ∈ [to, T ]
(1)
es llamada Ecuación diferencial de primer orden. Aquí f des una función real
conocida, de dos variables reales t y u, y u es llamada función incógnita de variable
independiente t. Además de esto, u y f pueden ser vectores, este caso lo veremos más
adelante y corresponderá a un sistema de e EDO’s de primer orden.
Resolver (1) corresponde a determinar una funciónu=u(t), diferenciable, con t ∈ [to, T ]
tal que u ′(t ) = f (t , u (t )) . Cualquier función que satisfaga esta propiedad es una solución
de la ecuación diferencial (1). Por ejemplo, una función u (t ) = Ce t es, para cualquier
valor constante de C, una solución de la ecuación diferencial u ′(t ) = u . Asimismo, cada
ecuación diferencial de primer orden posee un número infinito de soluciones. Deaquí
podemos seleccionar una solución particular, si junto con la EDO fuera dado un valor
de la solución u(t) en un punto, por ejemplo, u(to)=uo (Condición Inicial).
Si para la ecuación diferencial: u ′(t ) = u ,con condición inicial u (0) = 1 , entonces
obtenemos C=1 y la solución sería u (t ) = e t .
Problema del Valor Inicial
R
Dados una función f: RxR→R un intervalo real [to, T] y unvalor uo ∈ R, el problema de
valor inicial consiste en determinar una función u:[to, T]→ R que verifique una ecuación
diferencial de primer orden
u ′(t ) = f (t , u (t )),
t ∈ [to, T ]
con la condición inicial
u(t0)= u0

Nota: Antes de empezar a resolver el problema, interesa garantizar que esta tiene
solución única.

Profesores: RGJ-RCS-MOR

1

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Mecánica
DACIBAHCC
Existencia y unicidad de la solución
Teorema. Sea f: RxR→ R una función con las siguientes propiedades:
R

EDO
PA. 2009-1

1.
2.

f es continua en [to T] con respecto al primer argumento;
f es continua según Lipschitz con respecto al segundo argumento, esto es, existe una
constante L>=0 (llamada constante de Lipschitz) tal que
f (t , u1 ) − f(t , u 2 ) ≤ L u1 − u 2 , ∀t ∈ [to, T ], ∀u1 , u 2 ∈ ℜ
Entonces, el problema de valor inicial posee una solución u que es única. Además, la solución
u es continuamente diferenciable en [to, T]
Soluciones Aproximadas
Definición
Se dice que un conjunto de puntos {ti }iN 0 forma una malla del intervalo [to,T] si
=
to< t10 (h = (b - a)/n) definiendo
t j = t 0 + jh ,

j = 0,1,2, K , n

yobtenemos de tal manera
u j +1 = u j + hf (t j , u j )

(3)

siendo los u j aproximaciones para u (t j )
A la ecuación (3) se le conoce como Método de Euler Progresivo.

Para Euler Regresivo usar la fórmula implícita
u j +1 = u j + hf (t j +1, u j +1 )

(4)

Ejemplo 1
Aplicar el método de Euler progresivo para aproximar la solución del problema de
valor inicial:
u ' = −u + t + 1,...