Fem Elementos Finitos

UNA INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
F. VADILLO

Estas notas son una muy breve introducción al Método de Elementos Finitos (FEM) para resolver problemas elípticos que se explica en la asignatura de Resolución Numérica de E.D.P. del quinto curso de la licenciatura de Matemáticas de la UPV. Básicamente se desarrollan ejemplos y se cometan resultados más generales, y se acabaresolviendo algunos ejemplos con la herramienta PDETOOL de matlab.
Resumen.

Índice

1. Introducción 2. Formulación variacional de un problema modelo 3. El método de elementos nitos para el problema modelo 4. Formulación abstracta de FEM para problemas elípticos 5. Formulación variacional de problemas elípticos en el plano 6. El método de los elementos nitos en el plano 7. Convergencia delmétodo 8. Métodos adaptativos 9. La herramienta PDETOOL de matlab Referencias

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1.

Introducción

La idea general de cualquier método numérico es discretizar, si en las diferencias nitas se reemplazan las derivadas por cocientes en diferencias, en los elementos nitos (FEM) el factor esencial es que la integral de una función medible se puede escribir como suma deintegrales en dominios disjuntos cuya unión es el dominio original, entonces se puede hacer un análisis local del problema y haciendo los dominios sucientemente pequeños los polinomios son adecuados para una buena representación del comportamiento de la solución.
Received by the editors 8 de mayo de 2006.
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F. VADILLO

El método de los elementos nitos es una técnica general para resolverecuaciones diferenciales e integrales en ciencia e ingeniería con raíces en los métodos variacionales clásicos. Para ello se comienza reformulando el problema en una formulación variacional de la forma:

(M ) Hallar

u∈V

t.q. F (u) = m´ F (v), ın
v∈V

donde V es un espacio funcional de dimensión innita, y la idea del método es resolver el problema (M ) en un subespacio Vh ⊂ V defunciones polinomiales a trozos. Aunque la idea de utilizar aproximaciones lineales a trozos es antigua, recuerde por ejemplo la solución de Leibnitz al problema de la braquistócrona propuesto por Johan Bernouilli en el Acta de junio de 1696, es sobre todo en los años 60 cuando los ingenieros comenzaron a usar estas ideas para resolver problemas de ingeniería, quizá los más conocidos sean los estudios deestructuras, de donde el método ha heredado los nombres de matriz de rigidez y vector de cargas. Desde ese momento el método ha sido aplicado con notable éxito a prácticamente cualquier área de la ciencia e ingenieréa: problemas de estructuras, mecánica de uidos, propagación de ondas, problemas de conducción del calor, procesos de difusión-convección, procesos de reacción-difusión, problemas decampos electromagnéticos ............ En la introducción de la referencia [5], J.T. Oden arma que ya existían más de 100000 referencias bibliográcas sobre el método de los elementos nitos. Desde sus comienzos han existido dos vías de desarrollo en los elementos nitos. Los ingenieros han estado más preocupados por las aplicaciones que de resolver las dicultades matemáticas, quizá la obrapionera en esta dirección sea el libro de Zienkiewicz de 1971 [4]. Por otra parte, los matemáticos se han ocupado fundamentalmente de estudiar los problemas más próximos a su especialidad muchos de ellos relacionados con el estudio de los errores y la convergencia, el famoso libro de Strang & Fix de 1973 [3] fué pionera en esta otra dirección. Entre las grandes ventajas de los elementos nitos frente aotros métodos se pueden destacar las siguientes: 1. Las geometrías complicadas y las condiciones frontera pueden manipularse con mayor facilidad. 2. Los fundamentos matemáticos desarrollados durante los años 70 y 80 no han conocido el mismo desarrollo en otros métodos. 3. Permite construir software de propósito general. Para resolver un problem diferencial o integral usando elementos nitos se...