Fenomenos fisicos que dieron lugar a las ecuaciones diferenciales

FENOMENOS FISICOS QUE DIERON LUGAR A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La teoría de las ecuaciones diferenciales e integrales es con toda seguridad la disciplina de las matemáticas con una más clara motivación aplicada. Tengamos en cuenta que la inmensa mayoría de estas ecuaciones deben sus nombres a personalidades científicas de la ciencia tecnológica aplicada y surgencomo modelos matemáticos asociados a diferentes fenómenos de la Física (movimiento vibratorio, difusión del calor, ...), Química (procesos de reacción-combustión), Biología (estudio de especies biológicas), Óptica (procesos de difusión de la luz), Estadística (procesos estocásticos), Economía(optimización del rendimiento), Ingeniería (diseño óptimo de vigas) por citar algunos ejemplos de la interminable lista. Por todo ello,el estudio de estas ecuaciones es muy importante y resulta de indudable interés.
Siendo ese el propósito del presente trabajo, concentraré la labor en abordar con mayor profundidad los s. XVIII y XIX vitales para el desarrollo de esta singular disciplina, invitándolos a dar un paseo científico que espero y deseo sea de su agrado.

INTRODUCCIÓN
A partir de la segunda mitad del s. XVII con elsurgimiento del análisis infinitesimal por Newton y Leibniz como principales exponentes, se comienza a desarrollar el concepto de función, de diferencial así como las operaciones con éstos, surgiendo de esta forma ciertas ecuaciones las cuales fueron llamadas diferenciales, sobre las cuales se desarrolló toda una teoría para su solución. En un comienzo estas ecuaciones modelaban problemas de laMecánica, la Hidromecánica y la Astronomía.
Particularmente en esta rama del análisis matemático se revelaba fuertemente la influencia determinante de los problemas de las ciencias exactas, en primer lugar la Mecánica y la Física Matemática y la estrecha interrelación de las investigaciones teóricas y prácticas. Sumamente necesario e importante resulta destacar el papel de las Ecuacionesen Derivadas Parciales (EDP) en los problemas de la física matemática, las cuales se desarrollaron notablemente en el s. XVIII a partir de la Teoría de la Mecánica de los Medios Continuos, así como la conducción del calor, Mecánica de los Fluidos, electromagnetismo, mecánica cuántica, la Física Relativista y otras partes de la Física. No existe un método general de resolver las EDP, pero desde finales del s. XVIIIvarios tipos de ecuaciones han hallado su propia solución general.
Durante el s. XIX, los problemas de valores iníciales y de límite (frontera) ensombrecieron la búsqueda de soluciones generales mientras que los teoremas de existencia han dominado gran parte de la investigación de la Matemática Pura en las EDP durante el s. XX.
Los objetivos esenciales que persigo lograr con esta investigación,consisten en destacar la importancia así como el surgimiento de algunos problemas de la Física Matemática y de como se fueron desarrollando las ideas en cuanto a la resolución de éstos por parte de algunos de los matemáticos más notables de la época.

DESARROLLO

En los primeros años del s. XVIII los problemas físicos de vibraciones o de tipo oscilatorio, que conducíana funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, se resolvían frecuentemente en términos geométricos. El seno o el coseno eran considerados como líneas en un círculo de radio dado, el logaritmo como el área bajo la hipérbola, a ninguna de ellas se les asignaba la categoría de funciones. Esta situación limitaba grandemente la clase de funciones que podían ser consideradas y por tanto las posibilidades pararesolver ecuaciones diferenciales.
Por esta razón uno de los primeros métodos utilizados en la solución de ecuaciones diferenciales va a ser el encontrar un desarrollo en serie de la solución buscada. Varios geómetras del s. XVII ya utilizarían este método en casos particulares elementales, en particular lo harían sistemáticamente Newton y Leibniz. La aplicación de este procedimiento va a...