fenomenos

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
DIVISION DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE TERMODINAMICA Y
FENOMENOS DE TRANSFERENCIA

TF 1221
FENÓMENOS DE TRANSPORTE I

GUIA DE
ECUACIONES DE CONTINUIDAD
Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Profesores María Eugenia Aguilera, Dosinda GonzálezMendizabal, Luis Matamoros y César Oronel

Sartenejas, agosto 2005 (última revisión)

Ecuaciones decontinuidad y cantidad de movimiento.

2

INTRODUCCIÓN
En el programa de la materia Fenómenos de Transporte I está
contemplado el uso de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.
Con el objetivo de hacer llegar al estudiante todas estas ecuaciones para los
sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas se preparó este
texto, el cual facilita considerablemente lautilización de las mismas.

Primero, se presenta la ecuación de continuidad para los distintos
sistemas de coordenadas, ya mencionados. Después se muestran las
ecuaciones de cantidad de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes para cada
coordenada, agrupadas según el sistema (cartesiano, cilíndrico o esférico).

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

3

OBJETIVOS
TerminalProporcionar al estudiante los conceptos básicos de
Mecánica de Fluidos y su aplicación a problemas de
interés práctico.

Específicos

•

Desarrollar las ecuaciones de continuidad y cantidad de
movimiento, mediante la aplicación de la ley de la
conservación de la materia a un pequeño elemento de
volumen situado en el seno del fluido en movimiento

•

Proporcionar a los estudianteslas ecuaciones de
continuidad y cantidad de movimiento en los diferentes
sistemas coordenados, con la finalidad de hacer más
sencillo su manejo.

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

4

ÍNDICE
Página

Introducción

2

Objetivos

3

Índice

4

Tema 1 LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

5

La ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados

Tema 2 LAECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en

7

8
11

coordenadas rectangulares
Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en

12

coordenadas cilíndricas
Las ecuaciones de movimiento de Cauchy y de Navier-Stokes en

13

coordenadas esféricas
Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares

15Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas

16

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas esféricas

17

Bibliografía

18

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

5

LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad se obtiene aplicando un balance de materia a
un elemento diferencial de volumen (∆V), a través de la cual está circulando elfluido.
z

(ρ.vx )]x

∆z

(ρ.vx )]x+∆x

y

∆y

∆x
x

Figura 1. Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fija en el espacio, a través de la cual
esta circulando el fluido
Aplicando el balance de materia:
⎡ velocidad de acumulación ⎤ ⎡ velocidad de entrada ⎤ ⎡ velocidad de salida ⎤
⎥
⎥−⎢
⎢
⎥=⎢
de materia
de materia
de materia
⎦
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎣

(1)

Considerando el par de carasperpendiculares al eje x y el área de flujo en
x como ∆y∆z, se obtiene que la velocidad de entrada de materia a través de la
cara x es (ρvx)]x∆y∆z y la velocidad de salida de materia a través de la cara x +
∆x es (ρvx)]x+∆x∆y∆z. Por los otros dos pares de caras pueden obtenerse
expresiones análogas y la velocidad de acumulación de materia en el elemento
diferencial de volumen es (∂ρ ∂t )(∆x∆y∆z ) .Por lo tanto el balance de materia
queda:

∆x∆y∆z

[

[

]

∂ρ
= ∆y∆z ( ρv x ) x − ( ρv x ) x + ∆x + ∆x∆z ⎡ ρv y
⎢
⎣
∂t

+ ∆x∆y ( ρv z ) z − ( ρv z ) z + ∆z

]

( ) y − (ρv y ) y + ∆y ⎤
⎥
⎦
(2)

Ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento.

6

Dividiendo toda la ecuación por ∆x∆y∆z, y tomando el límite cuando ∆x,

∆y, ∆z tiende a cero, se tiene
⎛∂
⎞
∂ρ
∂...