fermat

Métodos para encontrar la tangente de una recta a una curva.
(Fermat)
Materia: Calculo I
Profesor: Raymundo García Zamudio

Fecha: 19/09/2012




Índice.
Introducción………………………………………………………..P.3

Máximos y Mínimos……………………………………………..P.4

Explicación del método de la tangente
mediante la explicación de Fermat………………………….P.8

Conclusiones………………………………………………………..P.9Bibliografía………………………………………………………….P.9






Fermat y la tangente
El aporte de FERMAT (Introducción)
El método de Fermat fue desarrollado durante 1630 y, aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado posteriormente por Newton y Leibniz, sin utilizar el concepto de límite. Sin embargo, observando en detalle su método se puede decir que Fermat entendía con precisión el método dediferenciación en uso. Además de ser el primer método general conocido para determinar máximos y mínimos, presentaba la idea de dar un incremento a cierta magnitud, la cual tomaba así el aspecto de una variable.





Fue en el curso de sus trabajos en la geometría de coordenadas que Fermat descubrió un método que le permitía calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica. Un claroantecedente del concepto de derivada.


Máximos y mínimos
Fermat se expresa con estas palabras:
“Toda teoría de la investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente:
1. Sea una incógnita cualquiera del problema ( que tenga dos o tres dimensiones, según convenga el enunciado).

2. Se expresara la cantidad máxima o mínima por medio deen términos que pueden ser de cualquier grado.


3. Se sustituirá a continuación la incógnita original por +e y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de y e, en términos que pueden ser de cualquier grado.

4. Se adigualaran, las dos expresiones de la cantidad máxima y mínima.


5. Se eliminaran los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que ambos lados habrátérminos afectados de e o de una de sus potencias.

6. Se dividirá todos los términos por e de al menos uno de los términos donde todavía aparece e ó una por alguna potencia superior de e, de modo que desaparecerá la e de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos de los miembros.


7. Se suprimirán a continuación todos los términos donde todavía aparece la e o una de suspotencias y se igualara lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada se igualaran, lo que viene a ser lo mismo, a los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo.
8. La resolución de esta ultima ecuación dará el valor de que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original”
La idea de de hacer adiguales dos expresiones proviene de Diofanto,quien usa en la Aritmética el termino griego parisotes para designar una aproximación a un numero racional tan cercana a este como sea posible (otros autores lo entienden como una pseudo igualdad o hacerlas lo mas aproximadamente iguales como sea posible).
En algunos ejemplos resueltos por Fermat, la cantidad mínima o máxima en consideración contenía una raíz cuadrada. En esas situaciones, Fermatelevaba al cuadrado la adigualdad antes de aplicar las últimas etapas de su regla y en particular, al aplicar la etapa 6, dividía todos los términos por una misma potencia de E, escogiendo esta de manera que al menos uno de los términos resultantes no contuviera a E.
Para ilustrar su método, el problema de dividir un segmento dado en dos partes de tal manera que el producto de las longitudes deestas de estas sea un máximo. Sea B, la longitud del segmento dado y A, la de la primera parte, como se muestra en la figura 1. Es necesario hacer máxima el área del rectángulo de la figura 3, es decir, la cantidad A(B-A).
fig. 1

fig.2
La solución del problema el valor de A = B/2 hace que la cantidad A (B-A) sea un máximo.
Se desarrollara el problema con la propuesta de Fermat....