Fermat

«El verdadero inventor del cálculo
diferencial»
Laplace

• Nació el 17 de agosto de 1601 en
Beaumont-de-Lomagne, Francia y
murió el 12 de enero de 1665 en
Castres, Francia.
• Asistió a la Universidad de Toulouse
antes de mudarse a Burdeos durante la segunda mitad de 1620. Allí
comenzó sus primeras investigaciones científicas serias.
• Fue un aficionado a las matemáticas. Su profesiónfue el derecho. Era
un distinguido lingüista y clasicista, y conoció de primera mano las
obras maestras de las matemáticas griegas.
• Fue el «Príncipe de los amateurs» en matemáticas, y sin embargo
prácticamente no publicó nada a lo largo de su vida, excepto las
ideas que comunicaba por carta a Mersenne.

• Aborda la tarea de reconstruir la obra clásica «Los lugares
planos» de Apolonio.De aquí surge el descubrimiento del
principio fundamental de la geometría analítica:
• «Siempre que en una ecuación final aparezcan dos cantidades incógnitas,
tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de una de ellas una
línea, recta o curva.»

• Fermat nota que las relaciones de áreas, expresadas según el
Álgebra Geométrica de los griegos en forma de proporción, se
prestabancon gran facilidad a ser traducidas al lenguaje de
ecuaciones del Álgebra simbólica de Vieta.
• Así concibe su Geometría Analítica y establece un puente entre
la geometría y el álgebra, que le permitirá asociar curvas y
ecuaciones en un sistema de coordenadas, por una ecuación
indeterminada en dos incógnitas.

• En su tratado «Introducción a los lugares geométricos planos y
sólidos» seocupa de los lugares geométricos más sencillos.

• En 1629 ya había encontrado:
• la ecuación general de la línea recta

• la ecuación de una circunferencia con centro en el origen
• las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola rectangular,
referida esta última a las asíntotas como ejes.

• Para el caso de las ecuaciones
cuadráticas más generales,
donde aparecen varios términosde segundo grado, aplica una
rotación de los ejes con objeto
de reducirlas a las formas
anteriores.
Sistema de coordenadas

• En 1638 comunicó el método aceptado para encontrar las
tangentes. Este se originó en la investigación que hizo Fermat
de los máximos y mínimos.
• Para hallarlos, comparaba el valor de ƒ(x) en un cierto punto
con el valor ƒ(x + E) en un punto próximo. En general,estos
puntos eran distintos, pero en una «cumbre» o en el «fondo de
un valle» de una curva, la diferencia será imperceptible.
• Después iguala ƒ(x) a ƒ(x + E), divide por E, y finalmente hace
E igual a cero.
• En este método se ve lo que ahora llamamos diferenciación:
ƒ(x + E) − ƒ(x)
lim
=0
𝐸→0
E

• Fermat no sólo disponía de un método para hallar las
tangentes a curvas de la formay=xm, sino que también
descubrió un teorema relativo al área encerrada bajo estas
curvas inspirado en el «Tratado de los indivisibles» de
Cavalieri, de 1635.
• Éste considera que una superficie está constituida por rectas
paralelas equidistantes, llegando a la conclusión de que el
área encerrada por la curva entre los valores x = 0 y x = a,
𝑎 𝑚+1
viene dada por la fórmula: 𝑚+1
pero sólolo demostró para los exponentes m = 1 y m = 9.
• Lo que hizo Fermat fue desarrollar un
método que permite demostrar el
resultado de Cavalieri para cualquier
valor del exponente m, tanto entero como
fraccionario.

• Las principales aportaciones de Fermat a las matemáticas se
produjeron en el campo de la teoría de números.
Algunas de ellas son las siguientes:
• Los números de Fermat:Conjeturó que todos los números de la forma
𝑛
22 + 1 con n natural, eran primos, lo cual resultó ser falso. Euler
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demostró un siglo más tarde que 22 + 1 es ya un número compuesto.
• La factorización de Fermat: Método de factorización ideado por él
mismo.
• El método del descenso infinito: una cierta forma de inducción
matemática a la inversa.

• Utilizando éste, demostró la conjetura de...