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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE MISANTLA
Profesor: Ing. Andrea Benítez Dávila
Matemáticas 1

Unidad: VI

Investigación Series y Sucesiones

Autor: ANTONIO DE JESUS CORTES LAGUNES

9 de Junio del 2010

Contenido
6.1Definición de una sucesión 2
6.2limite de una sucesión 2
6.3sucesiones monótonas y acotadas 2
SUCESIONES MONOTONAS 2
SUCESIONES ACOTADAS 3
6.4 series infinitas(convergentes y divergentes) 3
SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES: 3
6.5 series aritméticas y geométricas 4
6.6 Propiedades de las series, series alternas 6
6.7 Convergencia de series 7
6.8 Series de potencia 8
6.9 Derivación de series de potencia 8
6.9 Derivación de series de potencia 8
6.10 Representación de una función en series de potencia 9
6.11 Serie de Taylor y Mc´ laurin 9

6.1Definiciónde una sucesión
Una sucesión es una función cuyo dominio lo constituyen los números enteros positivos. Suelen indicarse las sucesiones mediante una notación de subíndices en lugar de la notación habitual de las funciones.

6.2limite de una sucesión
Sea un número real. El límite de una sucesión es , escrito como:

Si para cada , existe tal que siempre que . Si el límite de unasucesión existe, entonces la sucesión converge a . Si el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión diverge.
Teorema: sea un número real. Sea una función de una variable real tal que

6.3sucesiones monótonas y acotadas
SUCESIONES MONOTONAS
Una sucesión es monótona si sus términos no son decrecientes

O si sus términos no son crecientes

EJEMPLO:
Determinar si lasucesión que tiene el término -ésimo dado es monótona
Esta sucesión alterna entre 2 y 4. Por lo tanto, no es monótona.
SUCESIONES ACOTADAS
1. Una sucesión es acotada superiormente si existe un número real tal que para todo . El número es llamado una cota superior de la sucesión.
2. Una sucesión es acotada inferiormente si hay un número real tal que para todo . El número esllamado una cota inferior de la sucesión.
Una sucesión es acotada si lo está superior e inferiormente.
6.4 series infinitas (convergentes y divergentes)

Es una serie infinita o (simplemente una serie). Los números son los términos de la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice (o algún otro entero). Como convenio de escritura, es común representar una serieinfinita simplemente con . En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse del contexto establecido.
SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES:
Si una sucesión de sumas parciales converge, se dice que la serie converge y tiene la suma indicada en la definición siguiente:
Dada una serie infinita , la -ésima suma parcial está dada por:

Si la sucesión de sumas parciales converge a ,entonces la serie converge. El límite se llama suma de serie.
6.5 series aritméticas y geométricas
u1, u2, u3, u4,… ó 4, 6, 8, 10,…
La suma de la primera n términos en una serie se representa por . Por ejemplo:
S6 = u1, u2, u3, u4, u5, u6, 4+6+8+10+12+14+54
Una serie es la suma indicada de los términos de una secuencia. Por ejemplo, considera la secuencia: suma de los términos de estasecuencia es la serie.
La suma de cualquier número finito, o limitado, de términos se llama suma parcial de la serie.
Para hallar la suma de los enteros de 1 a 100, podrías sumar los términos uno por uno. Puedes usar tecnología y una fórmula recursiva para hacer esto rápidamente.
Primero, escribe una definición recursiva para la secuencia de enteros positivos.
Secuencia: u1 _ 1 un 1, 1 donden=2
Después, escribe la definición para la serie relacionada. Recuerda que la suma de los primeros 100 términos es la suma de los primeros 99 términos más el término número 100.
Fórmula de la serie aritmética
Paso 1 La longitud del primer paso es 4, la del segundo es 7, y así sucesivamente hasta el último paso, que mide 16.
Secuencia: 4, 7, 10, 13, 16
Suma de la serie: 4+7+10+13+16+50
Paso 2...