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TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
 
PROFESOR: Tarazona Giraldo Miguel Ángel
INTEGRANTES:
• Flores Mariño Edgar
•Escarcena Ayala José Luis

CARRERA: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
 
CICLO: IV
 
CURSO: MATEMATICA IV2014


2.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas
Definición 2.13. Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas que pueden escribirse de laforma
Dy/dx= f (y/x).

Este tipo de ecuaciones se reducen a una de variables separadas tras efectuar el cambio z = y=x ó, lo que es lo mismo, y = xz. Enefecto, derivando según la regla del producto se obtiene

Dy/dx= (dx/dx) z+x (dz/dx)= z+x(dz/dx)

Con lo que la ecuación se transforma en:

z+x(dz/dx)= f(z) => dz/f (z)-z=dx/x

=> ∫dz/f (z)-z= ln x+ln c

=> x=Ce^∫(dz/f(z)-z





Ejemplo 2.14. Resolver la ecuación

Dy/dx=y/x+tg (y/x)RESOLUCIÓN. Haciendo el cambio y = xz, separando variables e integrando:


z+x(dz/dx)= z+tg z => (cos z/sen z)dz =dx/x=> lnsen z = ln x+ln c

=> sen z =Cx=> sen(y/x)=Cx:




Ejemplo 2.15. Hallar la solución general de la ecuación (x+y) dx-(y-x) dy = 0.



RESOLUCIÓN. Para comprobar que se tratade una ecuación diferencial homogénea, «despejamos» dy/dx:


(x+y) dx = (y-x) dy => dy/dx=x+y/y-x=1+ y/x/y/x-1

Efectuando el cambio y = xz, separandovariables e integrando, obtenemos:


z+x(dz/dx)=1+z/z-1 => (z-1/1+2z-z^2) dz =(1/x)dx

=> -1/2ln(1+2z-z^2) = ln x+ln c

=>x^2+2(xy-y^2) =C: