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Teor´ Estad´
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ıstica Elemental I
Teor´ (resumida) del 3er Tema
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Ra´l Jim´nez
u
e
Universidad Carlos III de Madrid
Diciembre 2011

La condici´n de que la variable tome valores exclusivamente en un conjunto numerable de R
o
puede resultar muy restrictiva a la hora de modelar determinados fen´menos de naturaleza continua
o
(tiempos, precios, vol´menes, pesos). Es por ello querequerimos generalizar la definici´n de variable
u
o
aleatoria vista hasta ahora.
Una variable aleatoria (a veces va, por comodidad tipogr´fica) X sobre un espacio de probaa
bilidades (Ω, F , P ) es una funci´n X : Ω → R que cumple
o
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ x} ∈ F para todo x ∈ R.

(1)

La raz´n por la cual requerimos que X satisfaga (1) es equivalente a la que requerida cuando introo
ducimos elconcepto de variables aleatorias discretas. Tal y como ya hemos mencionado, estamos
interesados en calcular probabilidades del tipo P (X ∈ A), con A ⊂ R, las cuales est´n definidas si
a
{X ∈ A} = {ω ∈ Ω : X (ω ) ∈ A} ∈ F

(2)

La condici´n (1) asegura que (2) se satisface para cualquier A ⊂ R que puedan escribirse como
o
un resultado de operaciones numerables (finitas o infinitas) deintervalos. Esta es una importante
colecci´n de conjuntos de n´meros reales que se conoce como la σ -´lgebra de Borel. En todo lo
o
u
a
sucesivo se sobreentiende que si A ⊂ R entonces A pertenece a la σ -´lgebra de Borel. Elementos
a
simples de la σ -´lgebra de Borel son los intervalos (cerrados, abiertos, finitos, infinitos, etc) y los
a
conjuntos numerables.
El concepto de funci´n dedistribuci´n que introducimos anteriomente vale para cualquier vao
o
riable aleatoria, sea discreta o no. La funci´n de distribuci´n
o
o
FX (x) = P (X ≤ x)
de una variable X tiene varias propiedades elementales que son consecuencia de propiedades que
hemos visto de la medida de probabilidad P y que resumimos en la siguiente proposici´n.
o
Proposici´n 1. Sea F la funci´n de distribuci´n de unavariable aleatoria, entonces
o
o
o
1. F es no decreciente.
2. F (x) → 0 cuando x → −∞ y F (x) → 1 cuando x → +∞.
3. F es continua por la derecha.
1

Usando la proposici´n anterior, podemos establecer algunas f´rmulas utiles para el c´lculo de
o
o
´
a
probabilidades de eventos asociados a una variable aleatoria a partir de su funci´n de distribuci´n.
o
o
En particular se tiene queP (a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a) para todo a < b.
Otra identidad que vale la pena rese˜ar es
n
P (X = x) = FX (x) − l´ FX (y ) para todo x ∈ R.
ım
y ↑x

(3)

Es decir, P (X = x) es el salto de la discontinuidad de F en x, si es que la hubiera.

Variables aleatorias continuas
Aparte de la caracter´
ısticas comunes que puedan tener distintas funciones de distribuci´n, alguo
nas yamencionadas en la Proposici´n 1, a distintas distribuciones le pueden corresponder distintos
o
tipos de curva. Hay dos clases que son particularmente importantes:
Funciones de distribuci´n escalonadas, correspondientes a variables aleatorias discretas. Note
o
que si X es discreta a valores en {x1 , x2 , . . .} entonces para cualquier xi ≤ x < xi+1 , la funci´n
o
es constante. De hecho,
FX(x) = FX (xi ).
Funciones con una curva suave, asociadas a variables aleatorias que llamaremos continuas y
que definimos a continuaci´n.
o

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1

2

3

4

5

6

Figura 1: Funci´n de Distribuci´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta
o
o

Definici´n. Una variable aleatoria es continua si su funci´n de distribuci´n F puederepresentarse
o
o
o
como
x
F (x) =
f (u)du para todo x ∈ R,
−∞

para alguna funci´n f que satisfaga
o
1. f (x) ≥ 0, para todo x ∈ R,
2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 2: Funci´n de Distribuci´n de probabilidad de una variable aleatoria continua
o
o

2.

∞
−∞ f (x)dx

= 1,

En ese caso decimos que X tiene densidad de...