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Universidad Andrés Bello
Calculo en varias variables
1er semestre 2006


Guía 2

1. Grafique las siguientes funciones vectoriales indicando con una flecha la dirección en la que aumenta t:
a. f(t) = (cos4t, t, sen4t)
b. f(t) = (t4+1,t)
c. f(t) = (t, -t, 2t)
d. f(t) = (sent, 3, cost)
e. f(t) = (t3, t2)
f. f(t) = (t2, t4, t6)
g. f(t) = (t, t, cost)

2. Demuestre que la curva dadapor las ecuaciones parametricas x=tcost, y=tsent y z=t se encuentra en el cono z2=x2+y2, y utilice este dato para ayudar a trazar la curva.

3. Demuestre que la curva dada por f(t)=(sent, cost, sen2t) es la curva de intersección de las superficies descritas por las ecuaciones z=x2 y x2+y2=1. Utilice esto para facilitar el trazado de la curva.

4. Demuestre que la curva con ecuacionesparametricas x=t2, y=1-3t, z=1+t3 pasa por los puntos (1,4,0) y (9,-8,28) pero no por el punto (4,7,-6).

5. Encuentre una función vectorial que represente la curva de intersección de las dos superficies:
a. El cilindro x2+y2=4 y la superficie z=xy
b. El cono z= y el plano z=1+y
c. El paraboloide z=4x2+y2 y el cilindro parabolico y=x2.

6. Encuentre el dominio y la imagen de las siguientesfunciones escalares:
a. f(x,y) = ln(x+y-1)
b. f(x,y) =
c. f(x,y) =
d. f(x,y) = +
e. f(x,y) =
f. f(x,y) =
g. f(x,y,z) =
h. f(x,y,z) =
i. f(x,y,z) = x2ln(x-y+z)

7. Grafique las siguientes funciones vectoriales:
a. f(x,y) = 1-x-y
b. f(x,y) = 1-x2
c. f(x,y) = x2+9y2
d. f(x,y) = 3-x2-y2
e. f(x,y) =
f. f(x,y) =

8. Trace las siguientes funciones usando curvas de nivel y un grafico ycompárelos.
a. f(x,y) = x2+9y2
b. f(x,y) =

9. Trace un mapa de contorno de la función mostrando varias curvas de nivel:
a. f(x,y) =
b. f(x,y) = x-y2
c. f(x,y) =

10. Describa las superficies de nivel de la función:
a. f(x,y,z) = x+3y+5z
b. f(x,y,z) = x2+3y2+5z2
c. f(x,y,z) = x2-y2


11. Determine el mayor conjunto en el que la función escalar es continua:
a. f(x,y) =
b.f(x,y) = arctan( x+)
c. f(x,y) = ln(2x+3y)
d. f(x,y) = -
e. f(x,y) =
f. f(x,y,z) =
12. Encuentre las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones:
a. f(x,y) = x5+3x3y2+3xy4
b. z = xe3y
c. f(s,t) =
d. f(x,y) =
e. f(x,y,z,t) = xy2z3t4

13. Utilice la derivación implícita para encontrar y .
a. xyz = cos(x+y+z)
b. xy2z3+x3y2z=x+y+z
c. x2+y2-z2=2x(y+z)

14. Encuentre y .a. z=f(x)+g(y)
b. z=f(x+y)
c. z=f(x)g(y)
d. z=f(xy)
e. z=f(x/y)

15. Encuentre la derivada parcial indicada.
a. f(x,y) = ; fxxy
b. z=lnsen(x-y) ;
c. u=xaybzc ;

16. Verifique que la función u= es una solución de ka ecuación de conducción del calor ut=2uxx.

17. Determine se cada una de las siguientes funciones es una solución de la ecuación de Laplace uxx+uyy=0.
a. u=x2+y2
b.u=x2-y2
c. u=x3+3xy2
d. u=ln
e. u=senx coshy + cosx senhy
f. u=e-xcosy – e-ycosx

18 Verifique que la función u= sea una solución a la ecuación de Laplace en tres dimensiones uxx+uyy+uzz=0.

19. Demuestre que la funciona z=xey+yex es solución de la ecuación .

20. La ley de los gases para una masa prefijada m de un gas ideal a temperatura absoluta T, presión P y volumen V, es PV=mRT, dondeR es la constante de los gases. Demuestre que .

21. Si a usted le dicen, que una hay función f, cuyas derivadas parciales son fx(x,y)=x+4y y fy(x,y)=3x-y y cuyas derivadas parciales de segundo orden son continuas, ¿debe creerlo?

22. a. ¿Cuántas derivadas parciales de orden n tiene una función de dos variables?
b. Si estas derivadas parciales son continuas, ¿cuántas de ellas sondistintas?
c. Conteste la pregunta de la parte a. para una función de tres variables.

23. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto especificado:
a. z=; (1,-1,1)
b. z=ln(2x+y); (-1,3,0)
c. z=exlny; (3,1,0)

24. Encuentre la aproximación lineal de la función f(x,y)= en (2,1) y utilícela para aproximar f(1.95, 1.08).

25. Encuentre el diferencial de la función...