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ÁLGEBRA
ANALISTA DE SISTEMAS
LICENCIATURA EN SISTEMAS
INGENIERÍA QUÍMICA
SISTEMAS LINEALES
SISTEMAS LINEALES
Una ecuación lineal en las variables x e y es una expresión de la forma:
ܽଵ ‫ܽ + ݔ‬ଶ ‫ܾ = ݕ‬
Generalizando, una ecuación lineal en las n variables x1, x2, ..., xn se define como la expresión de la
forma:
ܽଵ ‫ݔ‬ଵ + ܽଶ ‫ݔ‬ଶ + ⋯ + ܽ௡ ‫ݔ‬௡ = ܾ

donde a1, a2, ..., an y b sonconstantes reales. Las variables de la ecuación lineal también son denominadas
incógnitas.
Una ecuación lineal se reconoce porque no incluye productos o raíces de variables. Todas las variables
están elevadas a la primera potencia, y no aparecen como argumentos de funciones trigonométricas,
exponenciales o logarítmicas.
Ejemplo:
Ecuaciones lineales
2x + 5y = 8
–x1 + 3x2 – 2x3 – x4 = – 1
–5x + 2y– 3w + z = –5

1
−2‫ ݕ + ݔ‬ଶ = −2
2

No son ecuaciones lineales

– 2x + 5yz – 3w = –2
cos ଶ ‫݊݁ݏ + ݔ‬ଶ ‫1 = ݕ‬

Se llama solución de una ecuación lineal ܽଵ ‫ݔ‬ଵ + ܽଶ ‫ݔ‬ଶ + ⋯ + ܽ௡ ‫ݔ‬௡ = ܾ a una sucesión de n números k1, k2,
..., kn tales que al reemplazar x1 por k1, x2 por k2, ... y xn por kn en la ecuación, ésta se transforma en una
identidad. En tal caso se dice que la ecuación severifica.
Se llama conjunto solución o solución general de la ecuación al conjunto formado por todas las
soluciones de la ecuación.
Definición: se denomina sistema de ecuaciones lineales, o simplemente sistema lineal, a todo conjunto
finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x2, ..., xn.
Se denomina solución del sistema de ecuaciones lineales en las variables x1, x2, ..., xn a unasucesión de
números k1, k2, ..., kn si al reemplazar x1 por k1, x2 por k2, ..., xn por kn en todas y cada una de las ecuaciones
del sistema, éstas se verifican. Es decir, si k1, k2, ..., kn es una solución de todas y cada una de las
ecuaciones del sistema.
Por ejemplo, k1=1, k2=0, k3=–1 es una solución del sistema:
−2‫ݔ‬ଵ +3‫ݔ‬ଶ +‫ݔ‬ଷ = −3
൜
‫ݔ‬ଵ −2‫ݔ‬ଶ −‫ݔ‬ଷ = 2
Ya que:
–2. 1 + 3. 0 +(–1) = –3 ⇔ –3 = –3 la primera ecuación del sistema se verifica; y
1 –2. 0 – (–1) = 2
⇔ 2 = 2 la segunda ecuación del sistema también se verifica.
Sin embargo, k1=0, k2=–2, k3=3 no es solución del sistema, ya que sólo verifica a la primera ecuación, no así
a la segunda [comprobarlo].
Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones, decidir cuáles de las 4-uplas que aparecen a
continuación sonsoluciones del mismo:

 x1

 x1
2 x
 1

+ 2 x2

+ x3

− x2

+ 2 x3
− x3

S1 = { 4, –12, –7, –13}

Sistemas Lineales

− 2 x4

= −1

+ x4

=2
=2

S2 = {–4, 0, 3, 0}

S3 = {1, –1, 2, 1}

S4 = {0, 0, 0, 0}

1

Álgebra
Para que el conjunto S1 sea solución del sistema debe ocurrir que realizando los reemplazos: x1=4, x2=–12,
x3=–7 y x4=–13 en el sistemaobtenga igualdades en todas las ecuaciones. Veamos:
4 + 2. (–12 ) + (–7 ) – 2. (–13 ) = 4 – 24 – 7 + 26 = –1
Se verifica
4 – (–12 ) + 2. (–7 ) = 4 + 12 – 14 = 2
Se verifica
2. 4 – (–7 ) + (–13 ) = 8 + 7 – 13 = 2
Se verifica
Por lo que podemos concluir que la 4-upla contenida en el conjunto S1 es solución del sistema.
Se deja como ejercicio mostrar que S2 , S3 y S4 no son soluciones.Observación: Existen sistemas lineales que no tienen solución. Por ejemplo, considérese el sistema:
‫ݔ‬ଵ +‫ݔ‬ଶ = 0
ቄ‫ݔ‬
ଵ +‫ݔ‬ଶ = 1
Evidentemente este sistema no tiene solución, ya que no pueden obtenerse dos valores k1 y k2 tales que su
suma sea a la vez 0 y 1. Es decir, si tales pares verifican la primera ecuación no verificarán la segunda, y si
verifican la segunda ecuación no verificarán la primera.Así, ese sistema lineal no tiene solución.
En este caso, cuando el sistema no tiene solución, se dice que el sistema es incompatible. Si tiene solución
se dice que es compatible, pudiendo ser en tal caso determinado o indeterminado según tenga una única
solución o más de una.
Un sistema de de m-ecuaciones lineales con n-incógnitas se puede escribir mediante la siguiente notación:

...