Fibonacci Expo

La sucesión de Fibonacci y su
relación con la razón áurea
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual dios ha escrito el universo”
Galileo Galilei

Leonardo de Pisa
(1175-1250 Pisa, Italia)Sucesión de Fibonacci

u

u  u

“¿Cuál es el número de parejas de conejos que se
producen durante
n 2un año, si sen parte
1 de una nsola pareja
que engendra otra pareja cada mes y cada nueva parejacomienzan 
a0 ,reproducirse
de forma similar un mes
1, 2 , 3, 4 ,...
después de su nacimiento?”

n0 0

n1 1

n2 1 n3 2

Sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13,....

Demostración
•• Sustituyendo
en eldesarrollo
 n, n
Se supone válida
para k anterior:

3.

No se sabe exactamente a quien
se le n 1atribuye nla
demostración
n 2
n 2
1
 1 5 
 1 5 
 1 5 
 1 5 
 2 
 n 2mas,  según
 la
2
información
n  2 
n
n






2
2
2
2
 1  5 a  1  5    1   5    1   5 
 1  5   1  5 
recopilada,
podemos
n

 
 
5 


 decir
 que

 2   2   2   2
 2   2 
Lucas
Anatone
la  demostró,

 
 
  n 2   


n 2
 1  5    1  5    1 usando
5   el “Método
1  5   inductivo”.
5
5

 1  
  
 1  




 



a n a n  1  a n  2

an 

2









2

 
5

2







2



n

 1 5   1 5 

 

• Analicemos el factor:
 2   2 




an 
 1  5   3  5  2  3  5   6  2 5  1  2 5  5  5 1  5 
 
 
 
 
 

1 
  1  5 

1  

  2 

2




2







2




2 

2







4







4







2




n

Propiedades
2

“Fn Fn  1  Fn 1  (  1) n” 1
Números de Fibonacci consecutivos son primos entre sí.
Fn es par si y sólo si n es múltiplo de 3.
En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1
y 8.
• Con laexcepción trivial de 1 entre los números de
Fibonacci hay solamente un cuadrado perfecto, el
elemento 12, que es 144.
[…]
•
•
•
•

Espiral de Fibonacci

Razón Aurea
Surge de plantear el...