FICA

Capítulo 4
Elasticidad

1

Ley de Hooke
Cuando estiramos o comprimimos un muelle, la fuerza recuperadora es
directamente proporcional al cambio de longitud x respecto de la posición de equilibrio:
F = −k x
siendo k una constante de proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. El signo menos en la ecuación anterior se debe a que la
fuerza recuperadora es opuesta a ladeformación.
La energía potencial elástica correspondiente a la anterior fuerza es igual
a:
Ep (x) = 1 k x2
2

Módulo de Young
Cuando dos fuerzas iguales, pero de sentido contrario, comprimen a un
cuerpo, se dice que éste está sometido a un esfuerzo de compresión. Si
las fuerzas estiran el cuerpo, el esfuerzo es de tracción.
Un esfuerzo cambia la longitud de una barra una distancia ∆L dadapor:
∆L
1 F
=
L
E A
donde L es la longitud de la barra y A su sección. E es el módulo de
Young, que nos da el grado de rigidez del material.
El cociente ∆L/L ≡ se conoce como deformación. La fuerza por
unidad de área se denomina esfuerzo y se denota por σ ≡ F/A.
El límite elástico es el esfuerzo máximo para el que la deformación es
reversible. El regimen lineal es aquel en el que severifica la ecuación
anterior. Existe un esfuerzo de rotura para el que el sólido no resiste
tanta deformación y se rompe.
El módulo de Young E posee unidades de N/m2 .

Flexión
La flexión se produce cuando aplicamos dos momentos iguales, pero de
sentidos opuestos. Cada uno de esos momentos es un par de fuerzas
iguales, pero opuestas, y su módulo, denominado momento flexor, es el
módulo de lafuerza por la distancia.
El momento flexor es igual a:
M=

E
I
R

en donde R es el radio de curvatura que adquiere la barra e I el
momento de inercia respecto de la superficie neutra:
I=

xmax
0

x2 l(x) dx

La deformación a una distancia x del centro, para un radio de curvatura
R, es = x/R.
El momento de inercia de una barra rectangular es ab3 /12, siendo a el
lado apoyado y bel otro. El de un cilindro macizo vale πr4 /4, y el de uno
4
4
hueco π(r1 − r2 )/4, siendo r1 el radio exterior y r2 el interior.
Una columna es capaz de aguantar su propio peso hasta una altura dada
por:
lmax = c r2/3
en donde r es el radio de la sección y c una constante de proporcionalidad
que depende del módulo de Young y de la densidad del material.

Coeficiente de Poisson
Ladeformación de cualquiera de las dos dimensiones laterales en un esfuerzo de compresión o de tracción viene dada por:
y

=

z

=

α
σx
E

en donde y = ∆y/y, z = ∆z/z y hemos utilizado el subíndice x en el
esfuerzo para significar la dirección en la que se produce.
El parámetro α se denomina coeficiente de Poisson.

Deformaciones volumétricas
La presión ejerce una misma fuerza porunidad de área en todas las direcciones y siempre perpendicular a la superficie.
El cambio de volumen debido a una presión viene dado por:
∆V
1
= p
V
B
B es el módulo volumétrico de compresión.
Encontramos que:
B=
B se mide en unidades de N/m2 .

E
3(1 − 2α)

Deslizamiento
En un esfuerzo de cizalladura las fuerzas se aplican en dirección tangencial a la caras sobre las que actúan. Elsólido reacciona inclinándose y la
deformación correspondiente se denomina de deslizamiento.
La deformación viene dada por:
∆L
1 F
=
L
G A
La constante G, conocida como módulo de cizalladura, depende únicamente del tipo de material.
El módulo de cizalladura se puede obtener a partir del módulo de Young
y del coeficiente de Poisson:
G=

E
2(1 + α)

Problema 4.1
Un muelle se estira 2cm cuando se le cuelga una masa
de 4 kg. Después se le hace oscilar a dicha masa con una
amplitud de 3 cm. Determina:
(a) la constante elástica del muelle,
(b) la energía de la partícula oscilando,
(c) la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio.

Problema 4.2
La energía de una partícula unida a una superficie es igual
a U0 (r − r0 )2 , siendo r la distancia...