fiebre loca

4.4.1.Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)

Fig. 4.6
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; setiene que:


Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)


La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

..
4.4.2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y
Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.)

fig. 4.7.

Trácece por el origen la rectal’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
P’’(x, Y), Y y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx

Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.

Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:

Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.

Es decir, para todo (x, y) l,y = mx + b = (tan )x + b

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

..
4.4.3. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida
Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.
.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces laecuación de l, viene dada por:
y = mx + b (1)

Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

y1 = mx1 + b (2)

fig. 4.8
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x1) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de laecuación de la recta.

Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:

y = mx + (y1 – mx1).

Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:

b = y1 – mx1

..
4.4.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.
....

Como l pasa porel punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que
y – y1 = m1 (x – x1) (1)

representa la ecuación de dicha recta.

Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.

fig. 4.9.
Esto es y2 – y1 =; de donde (2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS dela ecuación de la recta.

Observaciones


i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación
(3) también puede escribirse en la forma:





Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:


ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces laecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0
....
4.4.5. Ecuación segmentaria de la linea recta
Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:


Es decir, de donde,fig. 4.10
Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)

y = 0, resulta x = a (Intercepto con el...