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IV.3. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES.

SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS
SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS

En este apartado vamos a estudiar el comportamiento de las solucionespara los SISTEMAS HOMOGÉNEOS y los SISTEMA NO HOMOGÉNEOS y descubriremos que las soluciones de los sistemas homogéneos tienen estructura de subespacio vectorial mientras que las soluciones de lossistemas no homogéneos tiene estructura de subespacio afín.


SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Consideremos el sistema homogéneo

para discutir este sistema, plantearemos la matriz de coeficientesPara calcular el rango recordemos que tenemos que cargar el fichero de utilidades VECTOR.MTH que contiene la definición de la función RANK. Una vez cargado ya podemos aplicar la función yobtendremos que

Por tanto se trata de un sistema homogéneo indeterminando, con infinitas soluciones.
Estudiemos esas soluciones resolviendo el sistema por el método habitual, es decir planteando un vectorde ecuaciones. Esto se puede agilizar sin más que plantear la forma matricial del sistema


Que al simplificar nos da el vector de ecuaciones que desabamos:

Y ahora resolviendo obtenemos:

Esdecir que el conjunto de soluciones son de la forma

estaríamos ante las ecuaciones paramétricas del sistema.
Por tanto resulta que el conjunto de soluciones está generado por el vector (1,1,2)Es decir S se trata de un subespacio vectorial de R3 de dimensión 1, es decir
Dim(S) = nºincógnitas – rg(A)

Este hecho que hemos podido intuir en este ejemplo se puede generalizar con lasiguiente proposición:


PROPOSICION.

Sea el sistema lineal homogéneo de m-ecuaciones y n-incógnitas dado por



entonces se verifica que:

El conjunto de soluciones del sistemaes un subespacio vectorial de Rn.

Dim(S)=n-rg(A)
Veamos una demostración formal de esta proposición.
DEMOSTRACIÓN.

Comprobemos que es un subespacio vectorial de Rn. Para ello consideremos...