Figuras estelares

Figuras Estelares.

A lo largo de la historia los navegantes utilizaban, durante la noche, las estrellas como guías. Tanto las constelaciones como muchas otras figuras que se forman con estrellas se conocen como figuras estelares. A continuación se presenta una secuencia de una forma estelar triangular.

. . . .
1 . . . .. .
3 . . . . . .
6 . . . .
10

Estas, son tres figuras de forma triangular las cuales poseen un número determinado de puntos. Este valor esta indicado debajo de cada figura. Al ver esta secuencia surge lapregunta de cómo continuara, o si sigue algún patrón en especifico.

Se puede ver que el primer término tiene un valor de 1, el segundo de 3, el tercero de 6 y el cuarto de 10.

Esto es lo que se puede observar:

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Por lo tanto podemos asumir que la secuencia continuara de la siguiente manera:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 = 21

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

Este patrón resulta correcto pero no efectivo a la hora de aplicar investigación matemática sobre una secuencia por lo tanto se aplicara la siguiente formula con el objetivo de conseguir una forma efectiva de obtener cualquier termino sin necesidad de tener los anteriores.

(n + 1) x n
2Los siguientes ejemplos muestran si la formula es aplicable a esta secuencia:

(1 + 1) x 1 = 1 Termino número: 1
2

(2 + 1) x 2 = 3 Termino número: 2
2

(3 + 1) x 3 = 6 Termino número: 3
2

(4 +1) x 4 = 10 Termino número: 4
2

(5 + 1) x 5 = 15 Termino número: 5
2

(6 +1) x 6= 21 Termino número: 6
2

(7 + 1) x 7 = 28 Termino número: 7
2

Esta serie de cuentas están basadas en la misma formula presentada anteriormente en este mismo trabajo de investigación. Se puede observar que utilizando el valor n como numero de termino la formula permite encontrar el valor en cualquier termino de la secuencia medianteuna simple cuenta en la cual solo varia el número de termino. Por lo tanto este termino o formula se lo puede denominar como el termino n-esimo de esta secuencia estelar.

Por otro lado consideremos una secuencia de polígonos estelares. Por ejemplo esta secuencia de polígonos de seis vértices.

[pic] [pic] [pic] [pic]
113 37 73

El número estelar de cada figura es equivalente al número de puntos en cada respectiva figura. Una vez contados los puntos de las figuras observamos que:

Termino 1 = 1

Termino 2 = 13

Termino 3 = 37

Termino 4 = 73

Luego de un poco de análisis se ve que estasecuencia se puede descomponer en lo siguiente:

1 + 12 x 0 = 1

1 + 12 x 1 = 13

13 + 12 x 2 = 37

37 + 12 x 3 = 73

Por lo tanto se puede asumir que la secuencia continua de la siguiente forma:

73 + 12 x 4 = 121

121 + 12 x 5 = 181

181 + 12 x 6 = 253

A pesar de que este sistema es correcto no presenta características deefectividad, ya que a diferencia de la formula n-esima utilizada anteriormente este sistema requiere obligatoriamente del numero anterior al requerido. Por lo tanto con la información actual es necesario formular una formula n-esima para esta secuencia estelar de polígonos.

Con una mirada no muy profunda y viendo las cuentas anteriores, se puede suponer que la siguiente formula seria...