Figuras planas areas e inercia

Figuras planas
Centro de gravidade:

y

xG

yg

G yG

xg

x
xG = Sy A

;

S yG = x A

Propriedade: Se uma figura plana possui um eixo de simetria, o centro de gravidade está sobreele. Momento de inércia:
2 I x = I x + yG ⋅ A g

2 I y = I y g + xG ⋅ A

Momento centrífugo (também chamado produto de inércia):
I xy = I x g y g + xG yG ⋅ A

Propriedade: Se x ou y for umeixo de simetria, então Ixy = 0.

Características geométricas de algumas figuras planas:

y

yg

h/2 h h/2 x b/2 b
Ix = bh 3 ; 3 Iy = hb 3 ; 3
Ix =
g

G

xg

b/2

bh 3 ; 12

Iy=
g

hb 3 ; 12

I xy =

b2h2 ; 4

Ix y = 0. g g

y

yg

h

2h/3 h/3 G b
Ix = bh 3 ; 12 Ix =
g

xg x

bh 3 . 36

y

yg

h

2h/3 h/3 b/3 b G 2b/3 xg x

bh 3 Ix = ; 12bh 3 Ix = ; g 36 b2h2 I xy = ; 24

hb 3 Iy = ; 12 b2h2 Ix y = − g g 72

hb 3 Iy = ; g 36

yg

r G xg

Ix

g

= Iy

=
g

π ⋅r4
4

;

Ix y = 0 g g

yg

r 4r/3 π r
Ix =G xg x r
Ix y = 0 g g

π ⋅r4
8

;

Momentos centrais de inércia:
y

2

1

α2
G

α1

x

Ix + I y  Ix − Iy  2  + I xy , I1 = +    2 2   Ix + Iy  Ix − Iy  2  + I xy , I2= −    2 2   I1 I x + I y +  I x − I y  = I2 −  2 2 
 2  + I xy  
2 2

2

I −I  α1 = arctg  x 1   I xy        I −I  α 2 = arctg  x 2 

I xy

Propriedades: 1)Os eixos G1 e G2 são ortogonais entre si; 2) Em relação aos eixos centrais de inércia o momento centrífugo é nulo, isto é, I12= 0; 3) Se em relação a dois eixos ortogonais que passam por G o momentocentrífugo é nulo, então estes eixos são os eixos centrais de inércia da seção; 4) Os eixos de simetria são eixos centrais de inércia; 5) Se uma figura possui dois eixos de simetria não ortogonais entresi, então os momentos de inércia da figura em relação a todos os eixos que passam por G são iguais e todos os eixos que passam por G são centrais de inércia da seção. Ex: polígonos regulares:

t...