Filosofia

Límite Matemático
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una  tal que
si  entonces 
Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, siel valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.

Teoremas de Límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez ala definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Teorema 1. Límite de una función lineal.
Sea  donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función constante.
Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función identidad.
Sea , entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límitede la suma y de la diferencia de funciones.
Si  y , entonces

Ejemplo 5.
Sean,  y entonces,  y

Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.
Si entonces: 
Teorema 6. Límite del producto de dos funciones.
Si  y , entonces

Ejemplo 6.
Sean,  y entonces,

Teorema 7. Límite del producto de n funciones.
Si entonces

Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de unafunción.
Si  y n es cualquier número entero positivo, entonces

Ejemplo 7.
Sea,  entonces, 
Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones.
Si  y , entonces

Ejemplo 8.
Sean,  y entonces, 
Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.
Si n es un número entero positivo y , entonces
 con la restricción que si n es par, L > 0.
Ejemplo 9.
Sea,  entonces 
Teorema 12. Límite dellogaritmo de una función.
Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.
Calcule:  aplicando el teorema 2.12.
Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una función.
Si  y  entonces, 
Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

Tipos de límites


Cambio de variable
Un cambiode variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

* Ecuaciones bicuadradas
*Ecuaciones y sistemas exponenciales
* Ecuaciones de tercer grado
* Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo:
resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:
Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de . Se siguen los siguientes pasos:
* Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma baseque 7 · 3x:

* Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y tenemos:

* Se deshace el cambio de variable:

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplise.

Infinito
Del latín infinītus, infinito es aquello que no tiene (ni puede tener) término o fin. El concepto se utiliza en diversos...