Filosofia

ciales
de primer orden en forma normal
9.1 Definici´on
Se llama ecuacion diferencial ordinaria a cualquier expresion de la forma
F ³
x; y; y
0
; y
00
; : : : ; y
(n)
= 0
que liga a una variable independiente x con una funci´on de ella y = y(x) (variable dependiente)
y sus n, n ¸ 1, primeras derivadas.
El t´ermino “ordinaria
´
Y
´
Y de la definici´on hacereferencia al hecho de que la funci´on
que aparece depende de una ´unica variable y no aparecen derivadas parciales.
Si en la expresi´on aparece despejada la derivada de orden m´aximo:
y
(n)
= f
³
x; y; y
0
; : : : ; y
(n¡1)
se dice que la ecuaci´on diferencial est´a en forma normal o expl´icita. En caso contrario
se dice que est´a en forma general o impl´icita.
Se llama orden de laecuaci´on diferencial al orden mayor de derivada que aparece en
la ecuaci´on.
9.2 Definici´on
Se llama soluci´on de la ecuaci´on diferencial
F
³
x; y; y
0
; y
00
; : : : ; y
(n)
´
= 0
a cualquier funci´on y = '(x), x 2 I = (a; b), que tenga derivadas continuas hasta el orden
n en I, y que verifique la ecuaci´on:
F
³
x; '(x); '
0
(x); '
00
(x); : : : ; '
(n)
(x)
´
= 0
para todo x2 I.
Las soluciones pueden darse en forma expl´icita, como se indica en la definici´on, pero
tambi´en pueden venir dadas en forma impl´icita o param´etrica.
Resolver una ecuaci´on diferencial es hallar todas sus soluciones.
9.3 El origen de las ecuaciones diferenciales
Existen muchos y variados campos de las Ciencias donde aparecen, y tuvieron su origen,
las Ecuaciones Diferenciales. Porejemplo:
1.
Ley de enfriamiento de Newton: La velocidad con que cambia la temperatura
T(t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la
temperatura T(t) del cuerpo y la temperatura A del medio ambiente. Es decir
dT (t)
dt
= k (A ¡ T(t))
Luego esta ley nos lleva a una ecuaci´on diferencial T
= k(A ¡ T) donde t es la
variable independiente y T la dependiente.0
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2
2. Din´amica de poblaciones de Malthus: La velocidad de cambio, con respecto al
tiempo t, de una poblaci´on P(t) con ´indices constantes de nacimientos y mortalidad
es proporcional al tama˜no de la poblaci´on. Es decir
P
0
(t) = k ¢ P(t)
que es una ecuaci´on diferencial.
3. Problemas geom´etricos que impliquen condiciones dependiente o concavidad.
9.4 Ecuaciones de la forma y
0
= f(x)
Se resuelven mediante integraci´on directa. La soluci´on es
y =
Z
donde ' es una primitiva de f ('
9.5 Ecuaciones de la forma y
f(x) dx = '(x) + c ; c 2 R
0
= f).
(n)
Se resuelven mediante n integraciones sucesivas:
con k
i
y
y
y
(n¡1)
(n¡2)
(n¡3)
2 R, 1 · i · n.
=
Z
=
Z
=
Z
: : :
: : :
y = '
n
f(x) dx = '
('('
1
2
(x) + c
(x) + c
(x) + k
1
x
1
1
1
= f(x)
(x) + c
) dx = '
x + c
n¡1
9.6 Ecuaciones de variables separables
Son aquellas ecuaciones de la forma
que se pueden transformar, haciendo y
y
0
+ k
2
1
2
(x) + c
) dx = '
2
x
n¡2
3
1
x + c
(x) + c
+ : : : + k
= f(x; y) =
g(x)
0
=
dy
dx
h(y)
, en
h(y) dy = g(x) dx
2
1
n¡1
x
2
2
+ c
x + k
2
n
x + ce integrando cada miembro respecto de la variable que all´i aparece se obtienen las soluciones
'(y) = Ã(x) + c ; c 2 R
siendo '(y) primitiva de h(y) ('
0
= h) y Ã(x) primitiva de g(x) (Ã
0
= g).
3
Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 3
9.7 Ecuaciones aut´onomas
Son ecuaciones de la forma
y
0
= f(y)
que son de variables separables y se resuelven como tales.
9.8Ecuaciones homog´eneas
Son ecuaciones de la forma
y
0
= f
³
y
x
´
y se resuelven mediante el cambio de variable dependiente u(x) =
y(x)
x
(es decir y = ux).
Haciendo el cambio nos queda
u
0
x + u = f(u)
de donde se obtiene
du
f(u) ¡ u
=
dx
x
que es una ecuaci´on de variables separables, que se resuelve como tal y se deshace el
cambio.
9.9 Ecuaciones reducibles a homog´eneas...