filtro FIR

Capítulo 11

Filtros IIR
11.1

Derivación de la transformación bilineal

La transformación bilineal puede derivarse a partir de la fórmula trapezoidal de integración
numérica. El filtro continuo con función de sistema
Hc (s) =

b
s+a

(11.1)

es una caracterización de la ecuación diferencial
y 0 (t) + ay (t) = bx (t)
cuya solución es
y (t) − y (t0 ) =

Z

t

(11.2)

y 0(τ ) dτ ,

(11.3)

t0

donde y 0 (t) indica la derivada de y (t) respecto de t. La integral en (11.3) se puede aproximar por la regla trapezoidal
y (t) − y (t0 ) =

[y 0 (t) + y0 (t0 )]
(t − t0 ) .
2

Teniendo en cuenta (11.2),
y (t) − y (t0 ) = [−ay (t) + bx (t) − ay (t0 ) + bx (t0 )]

t − t0
.
2

Notando t = nT, t0 = nT − T, es t − t0 = T. Además, si y (nT ) ≡ y[n], x (nT ) ≡x[n], se
obtiene la ecuación a diferencias
¶
µ
¶
µ
aT
bT
aT
y[n] − 1 −
y[n − 1] =
(x[n] + x[n − 1]) .
1+
2
2
2
Aplicando la transformada Z,
µ
¶
µ
¶
¢
aT
aT
bT ¡
1+
Y (z) − 1 −
z −1 Y (z) =
1 + z −1 X(z),
2
2
2
1

2

CAPÍTULO 11. FILTROS IIR

de modo que la ecuación de sistema del filtro discreto es
¡
¢
bT
−1
Y (z)
2 1+z
¡
¢
=
H(z) =
X(z)
1 + aT −1 − aT z −1
2
2
que se puede escribir como

b
.
2 1 − z −1
+a
T 1 + z −1
Comparando (11.1) con (11.4) resulta que
H (z) =

H (z) = Hc (s)|

2 1−z −1
s= T
1+z −1

(11.4)

,

o, en otras palabras,que se mapea el plano complejo s en el plano complejo z según la
transformación bilineal
2 1 − z −1
s=
.
T 1 + z −1
Aunque la derivación se obtuvo para una ecuación diferencialde primer orden, es válida
en general para una ecuación diferencial de orden N.

11.2

Ejemplos de diseño

Ejemplo 11.1 Diseño de un pasabajos por invariación al impulso
El siguiente es el listado de comandos en MATLAB para diseñar un filtro IIR tipo pasabajos, con las
especificaciones que se listan a continuación:
%
%
%
%
%
%
%

Especificaciones del filtro
Característicapasabajos
Tipo
Butterworth
banda de paso:
[0 0.5*pi]
banda de rechazo:
[0.8*pi pi]
Atenuación en la banda de paso:
3 db
Atenuación en la banda de rechazo: 20 db

wp
ws
Rp
Rs

=
=
=
=

0.5*pi;
0.8*pi;
3;
20;

% ‘‘Traducción’’ de las especificaciones para el filtro continuo.
% Elijo T arbitrariamente (pruebe a elegir otros valores de T,
% y observe que obtiene el mismo filtrodiscreto);
T = 0.2;
Fs = 1/T;
Wp = wp/T;
Ws = ws/T;
% Diseño del filtro analógico
% Estimo el orden del filtro
[N,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’);
% Diseño el filtro
[na,da] = butter(N,Wn,Fs);
% Convierto el diseño a un filtro discreto
[nd,dd] = impinvar(na,da,Fs);
% Ploteo el filtro
freqz(nd,dd)

Los coeficientes de los polinomios numerador y denominador del filtro son

11.2.EJEMPLOS DE DISEÑO

3

|H(ejω)| [dB]

0
−10
−20
−30
0

π/2

π ω

Fig. 11.1: Respuesta en frecuencia del filtro pasabajos (no se cumplen las especificaciones).

|H(ejω)| [dB]

0
−10
−20
−30
0

π/2

π ω

π/2

π ω

arg[H(ejω)]| [grados]

0
−100
−200
−300
−400
0

Fig. 11.2: Respuesta en frecuencia del diseño corregido.

y[n], T×y(t)

0.6
0.4
0.2
0
−0.2
00.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

nT, t [s]
Fig. 11.3: Respuesta impulsiva del filtro continuo (línea de trazos) y del filtro discreto.

4

CAPÍTULO 11. FILTROS IIR

3

2

Imag

1

0

−1

−2

−3

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Real
Fig. 11.4: Diagrama de polos y ceros del sistema discreto.
nd = -0.0000 0.1362
dd = 1.0000 -0.6090

0.46090.1703
0.5589 -0.2267

0.0064 0.0000
0.0552 -0.0059

La gráfica de la respuesta en frecuencia en módulo y fase se observa en la Fig. 11.1. El diseño no
cumple con las especificaciones en la banda de rechazo: en 0.8π la atenuación es menor que 20 dB.
(¿A qué se debe este fenómeno?) El problema se soluciona aumentando en una unidad el orden del
filtro analógico. Los coeficientes del nuevo...