Filtros Adaptativos

ING608 2012-2: Procesamiento de Señales Digitales
Escuela de Posgrado - Pontificia Universidad Católica del Perú

Tarea 08
Entrega: Martes 11 de Diciembre del 2012 (en clase)
Problemas:
1. Elalgoritmo Leaky-LMS es un filtro adaptivo que busca minimizar la siguiente función de
costo
EL = E {e2 [n] + λω [n]T ω [n]}
donde λ > 0 y ω [n] es el vector de coeficientes del filtro adaptivo. Teniendoen cuenta el
problema de filtros adaptivos clásico tenemos que
y [n] = ω [n]T x[n]
ˆ
x[n] = [x[n], x[n − 1], . . . , x[n − N + 1]]T
e[n] = d[n] − y [n]
ˆ
donde d[n] es la respuesta deseada yx[n] es el vector de las últimas N muestras de la señal
de entrada del filtro. Asumiendo que x[n] y d[n] son procesos aleatorios WSS con media
igual a cero, la función de auto-correlación de x[n] estádada por E {x[n]x[n − m]} = Rxx [m]
y la función de cross-correlación entre d[n] y x[n] está dada por E {d[n]x[n − m]} = rdx [m].
a ) Determine los coeficientes del filtro óptimo ωopt que minimice lafunción de costo EL .
b ) Determine el gradiente del error con respecto a los coeficientes del filtro es decir calcule
ω EL

=

∂ EL ∂ EL
∂ EL
,
,...
∂w0 ∂w1
∂wN −1

T

.

c ) De formaanáloga al algoritmo LMS, determine las ecuaciones recursivas del algoritmo Leaky-LMS. Tenga en cuenta que (así como en el caso del algoritmo LMS), las
ecuaciones recursivas no dependen de Rxx [m] nide rdx [m].
∗
T
d ) Determine EL = E {e2 [n] + λωopt ωopt }.

2. Considere la siguiente configuración para un filtro adaptivo, donde la señal x[n] es un
ˆ
proceso aleatorio WSS con función decorrelación Rxx [m] = 2−|m| + 4−|m| y además d[n] =
(n)
(n)
h0 x[n − 1] + h1 x[n − 2].

x[n]

z

-1

s[n]

e[n]

(n)

h

-

a ) ¿Cuáles son los coeficientes óptimos que minimicen lamedia cuadrática del error a la
salida (E {e2 [n]}), es decir cuál es la solución de Wiener?
b ) ¿Cuál es el valor mínimo del error cuadrático medio (MMSE - minimum mean squared
error)?

1...