Filtros Digitales Con Matlab

Filtros digitales

1. Respuesta en frecuencia de los filtros
La función de transferencia de un sistema analógico puede representarse con una función compleja H(s), y la de un sistema digital se representa mediante una función compleja H(z). Estas funciones de transferencia describen el efecto del sistema sobre una señal de entrada y también el efecto de filtración del sistema. Tanto H(s) comoH(z) son funciones continuas de la frecuencia ω, donde s = jω y z = e jωT (recuerde que ω representa la frecuencia en radianes por segundo). Para una frecuencia dada ω0 , suponga que la magnitud de la función de transferencia es M y su fase es φ. Entonces, si la entrada del filtro contiene una senoide con frecuencia ω0 , la magnitud de la senoide se multiplicará por M, y la fase se incrementará enφ. Los efectos de estos cambios se muestran en la Figura 1 para filtros tanto analógicos como digitales. A cos(ω0 t + θ) filtro analógico filtro digital AM cos(ω0 t + θ + φ)

A cos(ω0 kT + θ)

AM cos(ω0 kT + θ + φ)

Figura 1: Efecto de los filtros sobre las senoides.

Aunque la función de transferencia define el efecto del filtro en términos de frecuencias, en muchos casos puede describirseen términos de la banda de frecuencias que deja pasar. Por ejemplo, un filtro pasabajas deja pasar frecuencias por debajo de una frecuencia de corte y elimina las mayores que la frecuencia de corte. Un filtro pasaaltas deja pasar las frecuencias mayores que una frecuencia de corte y elimina las menores. Un filtro pasabanda deja pasar las frecuencias dentro de una banda especificada y elimina lasdemás. Un filtro rechazabanda elimina las frecuencias dentro de una banda especificada y deja pasar todas las demás. La Figura 2 muestra ejemplos de funciones de transferencia para estos cuatro tipos generales de filtros. Las funciones de transferencia de la Figura 2 son filtros ideales, en los que una frecuencia pasa o bien es eliminada. En la práctica, es imposible diseñar filtros con lascaracterísticas exactas de estos filtros ideales. 1

M(ω)

M(ω)

M(ω)

M(ω)

ω a) Pasabajas b) Pasaaltas

ω c) Pasabanda

ω

ω d) Rechazabanda

Figura 2: Funciones de transferencia ideales.

La Figura 3 muestra un ejemplo de la magnitud de un filtro pasabajas representativo que ilustra las características de la mayor parte de los filtros de este tipo. En vez de que cada frecuenciapase o sea rechazada, hay tres regiones: una banda de paso, una banda de transición y una banda de detención. Estas regiones están definidas por una frecuencia de corte ωc y una frecuencia de rechazo ωr . Si no se indica otra cosa, supondremos que la frecuencia que corresponde a una magnitud de 0.7 es la de corte, y la que corresponde a una magnitud de 0.1 la de rechazo. Con estas definiciones,podemos describir de forma más específica las bandas de paso, de transición y de detención. La banda de paso contiene frecuencias con magnitudes mayores que la de la frecuencia de corte; la banda de transición contiene frecuencias con magnitudes entre las magnitudes de las frecuencias de corte y de rechazo; la banda de detención contiene frecuencias con magnitudes menores que la magnitud de la frecuenciade rechazo. M(ω) 1.0 0.7 0.1 ωc
banda de paso banda de transición

ω ωr
banda de detención

Figura 3: Filtro pasabajas representativo.

Puesto que una función de transferencia es compleja, el análisis del filtro correspondiente suele incluir curvas de la magnitud y la fase de la función de transferencia. Las funciones MATLAB abs y angle pueden servir para determinar la magnitud y la fasede las funciones complejas H(s) y H(z). También podemos usar las funciones freqs y freqz para calcular los valores de las funciones H(s) y H(z), como veremos a continuación.

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1.1. Funciones de transferencia analógicas
Un filtro analógico está definido por una función de transferencia H(s), donde s = jω. La forma general de H(s) es B(s) b0 sn + b1 sn−1 + b2 sn−2 + · · · + bn H(s) = = ....