Filtros Digitales

Introducción a los filtros digitales
1.1 Introducción.
El término FILTRO hace referencia a cualquier sistema que discrimina lo que pasa a su
través de acuerdo con alguno de los atributos de la entrada.
De acuerdo con esta definición tan general podemos tener filtros de agua, filtros de
partículas de aire, filtros de aceite etc. Nosotros nos vamos a centrar en filtros digitales.
Estosfiltros discriminarán las señales de acuerdo con sus características frecuenciales. Este
tipo de filtros tiene como entrada una secuencia discreta y como salida otra secuencia
discreta, que habrá experimentado ciertas variaciones en amplitud y/o fase dependiendo del
filtro empleado.
1.2 Conceptos de filtros digitales
Vamos a considerar sistemas lineales invariante temporales (LIT) caracterizadospor
una ecuación en diferencias con coeficientes constantes de la forma:



= =
= − − −
N
k
k
M
k
k y n b x n k a y n k
0 1
( ) ( ) ( )
Su función de transferencia es:
( )
( )
( )
0
0
X z
Y z
a z
b z
H z N
k
k
k
M
k
k
k
= =




=
−
=
−
Los coeficientes { } k a y { } k b determinan la respuesta en frecuencia del filtro. Una señal x(n)
que pase a través delsistema tendrá una salida Y(w) = H(w)X (w) , siendo H(w) la
respuesta en frecuencia del filtro considerado.
Los filtros digitales que vamos a considerar serán sistemas LIT que van a producir una
alteración selectiva de las componentes frecuenciales de la señal de entrada.
Ejemplo:
2
( ) ( 1)
( )
+ −
=
x n x n
y n
x(n) Filtro y(n)
scola ècnica uperior nginyeria
Departament d´EnginyeriaElectrònica
1.2
FILTROS DIGITALES
M. MARTÍNEZ, L. GÓMEZ, A.J. SERRANO, J. VILA, J. GÓMEZ
CURSO 2009-2010
( )
( ) 


 


F = −





=
®
+
=
−
2
2
cos
2
1
( )
w
w
w
w
w
w H
e
H
j
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Respuesta en frecuencia en módulo
|H(w)|
Frecuencia digital
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2-1.5
-1
-0.5
0
Respuesta en frecuencia en fase
|F(w)|(rad)
Frecuencia digital
Un filtro selectivo en frecuencia ideal tiene las siguientes características:
( )
  
£ £
=
−
0 en otro caso
1 2 w w w
w
jwk Ce
H
consideremos una señal de entrada x(n) , cuyas componentes frecuenciales se encuentren el
en intervalo [ ] 1 2 w ,w 1,
w (w ) (w ) (w ) w Y H X Ce X − j k ( ) = =
1También podríamos considerar una señal de entrada ( ) ( ) ( ) x1 n = x n + x2 n , siendo x(n) la parte de la
señal con componentes frecuenciales en el intervalo [ ] 1 2 w ,w y ( ) x2 n la componentes frecuenciales fuera de
ese intervalo, con lo que w (w) (w) (w) (w) (w) (w) (w) w Y H X H X H X Ce X − j k = = + = 1 2 ( )
scola ècnica uperior nginyeria
Departament d´Enginyeria Electrònica
1.3FILTROS DIGITALES
M. MARTÍNEZ, L. GÓMEZ, A.J. SERRANO, J. VILA, J. GÓMEZ
CURSO 2009-2010
Siendo w1 y w2 los límites de la banda de paso, y C un factor de ganancia. Dependiendo de
los valores de w1 y w2, tendremos filtros pasa-baja, pasa-alta, elimina-banda, etc. En el
dominio temporal, calculando transformadas inversas,
y(n) = Cx(n − k)
La señal de entrada solo se retarda, no se distorsionaH(w) = C Q(w)= −wk
Se define una función de retardo de grupo como
( )
( )
w
w
t w
d
dQ
= −
Esta función determina el retardo producido, al atravesar el filtro, para un conjunto de
frecuencias no armónicamente relacionadas respecto de la señal analógica original. Si
Q(w ) es lineal t (w )=cte por lo que el retardo producido no dependerá de la frecuencia; es
decir, el retardoexperimentado por todas las componentes presentes en la señal será el
mismo. Este tipo de sistemas se dice que tienen fase lineal.
Si Q(w ) no es lineal diremos que el sistema produce distorsión de fase.2. La propiedad de
linealidad de fase es importante en comunicaciones, audion y otras aplicaciones en las que
las relaciones temporales entre las diferentes frecuencias son críticas.
2 Se define el...