Filtros y Diseño de Controladores

1) ¿Qué condiciones deben cumplirse para que este circuito tenga característica pasabanda?
Dado que un filtro pasabanda deja pasar un determinado rango de frecuencias de una señal y atenúa
el paso del resto, la forma general de la función de transferencia que lo caracteriza es la que sigue:
𝐺(𝑠) =

𝑠2

2𝜉𝑊𝑟 ∙ 𝑠
+ 2𝜉𝑊𝑟 ∙ 𝑠 + 𝑊𝑟 2

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1]

Así, el circuito electrónico RLC debeajustar su función de transferencia a la forma de un sistema de
segundo orden donde 𝑊𝑟 corresponde a la frecuencia angular de resonancia y 𝜉 corresponde al
factor de amortiguamiento que determinará el tipo de filtro pasabanda a construir.
Notar que en la ecuación anterior 𝑊𝑟 está en [𝑟𝑎𝑑/𝑠], por lo que para determinar su frecuencia 𝜔 𝑟
en [ℎ𝑧] se debe ocupar la siguiente relación:
𝜔𝑟 =

𝑊𝑟[ℎ𝑧]
2𝜋

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2]

De esta forma, 𝜔 𝑟 se denomina frecuencia de resonancia o frecuencia natural y el circuito RLC
propuesto debe ser capaz de dejar pasar esta frecuencia central y las componentes frecuenciales
próximas a ésta desde un rango inferior (frecuencia de corte inferior, 𝜔 𝑖𝑛𝑓 ) hasta un rango superior
(frecuencia de corte superior, 𝜔 𝑠𝑢𝑝 ). Además, cabe destacar que no hay simetríarespecto a la
frecuencia de resonancia, por lo que se tiene lo siguiente:
𝜔 𝑠𝑢𝑝 − 𝜔 𝑟 ≠ 𝜔 𝑟 − 𝜔 𝑖𝑛𝑓

[𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1]

Un filtro ideal sería el que tiene unas bandas pasante y de corte totalmente planas y unas zonas de
transición entre ambas nulas (gráfico de línea continua), pero en la práctica esto nunca se consigue
por lo que el filtro real (gráfico en línea discontinua) daría una respuestaen frecuencia que
solamente se acerca según ciertos criterios de calidad del filtro.

Para medir cuán bueno es un filtro pasabanda mediante el uso del circuito RLC, se puede emplear
el factor 𝑄 o factor de calidad, cuya fórmula es:
𝑄=

1
𝜔𝑟
=
2𝜉
𝜔 𝑠𝑢𝑝 − 𝜔 𝑖𝑛𝑓

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3]

Lo anterior, es un criterio que permite decidir si el filtro es más selectivo de una frecuencia específica(banda estrecha, 𝑄 > 10) o es menos selectivo respecto a la frecuencia central o de resonancia
(banda ancha, 𝑄 < 10).

Otro parámetro ligado inversamente al factor 𝑄 es la banda de paso o ancho de banda (𝐵𝑊), cuya
fórmula mide la diferencia entre la frecuencia superior e inferior, es decir, la serie de frecuencias
que pasan al utilizar el circuito RLC. La manera en que se calcula es la quesigue:
𝐵𝑊 = 𝜔 𝑠𝑢𝑝 − 𝜔 𝑖𝑛𝑓

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4]

2) Obtenga analíticamente la frecuencia de resonancia, la ganancia a esa frecuencia, las frecuencias
de corte y el ancho de banda del filtro. Comente el rol que juega 𝑝 en los conceptos anteriores.
Como la función de transferencia del circuito RLC entregada en la tarea es la siguiente:
𝐺(𝑠) =

𝑉 𝑜𝑢𝑡
𝑠∙ 𝐿
= 2
𝑉𝑖𝑛
𝑠 ∙ 𝑅𝐿𝐶(1 − 𝑝) + 𝑠 ∙ 𝐿 + 𝑅[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5]

La ecuación anterior se debe llevar a la misma forma que presenta la Ecuación 1, con los pasos que
se muestran a continuación:
Primero, factorizar por 𝑅𝐿𝐶(1 − 𝑝) el denominador
𝐺(𝑠) =

𝑠∙ 𝐿
𝑠∙ 𝐿
𝑅
𝑅𝐿𝐶(1 − 𝑝) ∙ [𝑠 2 ∙ +
+
]
𝑅𝐿𝐶(1 − 𝑝)
𝑅𝐿𝐶(1 − 𝑝)

Segundo, simplificar términos iguales
𝑠

𝐺(𝑠) =
𝑅𝐶(1 − 𝑝) ∙ [𝑠 2 ∙ +

𝑠
1
+
]
𝑅𝐶(1 − 𝑝) 𝐿𝐶(1 − 𝑝)

Tercero, reagrupar elnumerador
1
𝑅𝐶(1 − 𝑝)
𝐺(𝑠) =
1
1
+
[𝑠 2 + 𝑠 ∙
]
𝑅𝐶(1 − 𝑝) 𝐿𝐶(1 − 𝑝)
𝑠∙

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6]

Gracias al reordenamiento anterior e igualando la Ecuación 1 con la Ecuación 6, se obtienen
directamente las siguientes igualdades:
2𝜉𝑊𝑟 =
𝑊𝑟 2 =

1
𝑅𝐶(1 − 𝑝)
1
𝐿𝐶(1 − 𝑝)

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐ó𝑛 7]
[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 8]

De esta forma, la frecuencia de resonancia 𝜔 𝑟 en términos de los parámetros del circuitoRLC
pueden ser calculados a partir de la Ecuación 8 mediante los siguientes pasos:
Primero, despejar 𝑊𝑟 extrayendo la raíz cuadrada
𝑊𝑟 = √

1
𝐿𝐶(1 − 𝑝)

Segundo, utilizar la Ecuación 2 para obtener la frecuencia de resonancia en [ℎ𝑧]
√
𝜔𝑟 =

1
𝐿𝐶(1 − 𝑝)
2𝜋

Tercero, reordenar los términos de la relación
∴

𝜔𝑟 =

1
2𝜋 ∙ √𝐿𝐶(1 − 𝑝)

[ℎ𝑧]

[𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 9]

Por...