Filtros

ASC

TEMA 3
APROXIMACIÓN DE FILTROS

H(jω)

H(jω)

2

2

1
1 ⁄ (1 + ε )

1

2

2

1 ⁄ (1 + δ )

3.1 Teoría de la aproximación

(a)

tarea del diseñador es obtener una función racional realizable H(s) que satisfaga estas especificaciones.
Idealmente querríamos realizar una transmisión perfecta, sin pérdidas,

que H ( s ) sea una función racional continua de s con unnúmero finito de

ω

2

1

en la banda pasante, atenuación infinita (ganancia 0) en la/s banda/s de rec-

Esta característica de transferencia ideal no es realizable, si queremos

ωs

1
2
1 ⁄ (1 + ε )
2
1 ⁄ ( 1 + δ2 )
2
1 ⁄ ( 1 + δ1 )

las bandas pasante, de rechazo o transición en magnitud y/o fase. La primera

paso de baja de la Fig. 3.1(a).1

1
(b)

H(jω)

Talcomo hemos visto anteriormente, se imponen especificaciones de

hazo y banda/s de transición de ancho nulo, tal como se muestra en el filtro

ω

1

(c)

ω

ωs ωs
1
2

Figura 3.1: Especificaciones paso de baja: (a) paso de baja ideal no realizables; (b) paso de baja realizables con tolerancia banda pasante ε y tolerancias banda de rechazo δ ( δ > ε ); (c) paso de baja
conespecificaciones no constantes en la banda de rechazo.

polos y ceros, y sólo puede aproximarse dentro de unos ciertos márgenes de
tolerancia, tal como se muestra en la Fig. 3.1(b).
Nos limitaremos aquí a estudiar las aproximaciones clásicas, que
requieren de especificaciones de atenuación constantes en la banda de rechazo, y en la de paso.

3.2 Aproximación en magnitud paso de baja
La magnitud de lafunción de sistema H ( j ω ) se obtiene de:
H(jω)
H(jω)

1. Suponemos que la frecuencia se haya normalizada de forma que ω = 1 en el
borde de la banda pasante y max H ( j ω ) = 1 .
3 -1

Curso 2004/05 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

2

2

2

2

P(ω )
N( jω )
N ( j ω ) N ( –j ω )
= ---------------------------------- = -------------------- ≡-------------2
2
D ( j ω ) D ( –j ω )
E(ω )
D(jω)

(3.1)

es una función racional par que de acuerdo con la Fig. 3.1 debe

aproximarse a 1 en la banda pasante, 0 ≤ ω ≤ 1 , y a 0 en la banda de recCurso 2004/05 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

3 -2

ASC

ASC

3.2 Aproximación en magnitud paso de baja

hazo, ω ≥ ω s . A fin de facilitar eltratamiento matemático es conveniente
introducir una función racional real K ( s ) tal que,
H(jω)

1
= ----------------------------2
1 + K(jω)

2

K( jω )

2

(3.2)

K ( s ) , que se denomina función característica. Esta se obtiene de la función

δ

2

de sistema H ( s ) mediante la ecuación de Feldtkeller:
K(jω)

PB

1
= -------------------- – 1
2
H(jω)

2

εTeniendo en cuenta la ecuación (3.1) podemos escribir,
2

K(jω)

SB

(3.3)

2
2
2
2
ˆ
2 F( jω)
D( jω ) – N( jω )
F(jω)
= ----------------------------------------------- ≡ ε -------------------- = -------------------- (3.4)
2
2
2
N(jω)
N(jω)
N(jω)

2

0

ω r ω rω r
3
21

ωs ωz

1

ωz

2

ωz

3

ω

Figura 3.2: Especificaciones paso de baja que deben sersatisfechas
2
por K ( j ω ) .

Por conveniencia se ha introducido el parámetro ε . Una representación de
K( jω )
K( jω )

2
2

se muestra en la Fig. 3.2. K ( s ) se define de tal forma que
se aproxime a 0 en la banda pasante con un error de atenuación o

rizado en la banda pasante ε . Si la atenuación máxima en la banda pasante

ε = 10

0.1 A p

eje j ω , debdio a que esto nosva a asegurar una mayor eficiencia de la

–1

De forma similar K ( j ω )

(3.5)
2

2

debe ser mayor de δ en la banda de rechazo.

Para una atenuación mínima en la banda de rechazo de A s dB, δ viene de:
2

δ = 10

0.1 A s

–1

(3.6)

ˆ
Se ha introducido un nuevo polinomio, F ( s ) (también F ( s ) ) llamado
polinomio de reflexión cero. Sus raíces, llamadas ceros de...