Final 1 Ev Mate II 2009 A 2014

2014

OPCIÓN A

1º) (3 p) Se da el sistema de ecuaciones lineales
parámetro real.

, donde α es un

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Los valores del parámetro α para los que el sistema es incompatible.
b) Los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y determinado.
c) Todas las soluciones del sistema cuando α = 2.

2º) (2'5 p)a) Sabiendo que A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que |A|=5, calcula razonadamente el
valor de los determinantes:
|At|,
|A3|
|-A|,
|A-1|,

a b c
b) Sabiendo que 1

1 1 =2 calcula, usando propiedades de los determinantes:
3 0 1

3−a

−b

5 0 0 0
2 2a 2b 2c
0 30 0 10
1 4 4 4

1− c

1+ a 1+ b 1+ c
3a
3b
3c

y

3º) (2'5 p) Considera las matrices A, B, C y D y resuelve la ecuación AXB + C = D.(Halla la matriz X)

 1 1 0


1 0 
 1 2 3
2 3 4
 D = 

A = 
 B =  0 1 1  C = 


 1 1
0 1 - 3
 0 0 - 1
 - 1 - 1 1

4º) (2 p) Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2-2M=3I, donde I denota la matriz
identidad.
a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo, expresa M-1 en términos
M e I.

a b
 que cumplen la ecuación M2-2M=3I.
b ab) Hallar las matrices M de la forma 

de

OPCIÓN B
 ax − ay + z = 2

1º) (3 p) Considera el sistema  3 x + 2 y − 2 z = a
− ax + 3 y − z = 2

a) estudia su compatibilidad según los distintos valores de a.
b) Resuélvelo, si es posible, en el caso a=1.

− 2 0 0 
 2 1 2




2º) (2'5 p) Dadas las matrices A =  1 1 0  y B =  0 − 1 5  , obtener razonadamente el
 4 2 − 2
 0 0 2



valor de los determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) A + B

b)

1
( A + B )−1
2

c) ( A + B ) · A
−1

d) 2 A· B· A −1

e) A 3 · B −1

3º) (2'5 p) Resuelve AXB + C = D

 1 1 0


1 0 
 1 2 3
2 3 4
 D = 

A = 
 B =  0 1 1  C = 


 1 1
0 1 - 3
 0 0 - 1
 - 1 - 1 1

4º) (2 p) Responde a las siguientes cuestiones:
a)Demuestra que si A es una matriz cuadrada que cumple la igualdad A 2 = I , donde I es la matriz

( )

identidad, entonces A es invertible y A −1 cumple que A −1

2

=I
a b
 con b≠0 que cumplen la igualdad
b) Calcula la expresión general de las matrices de la forma A = 
 c 2
A2 = I

2013

Se elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B
OPCIÓN A
 2 x + my + mz = 1 − m

1.- Dado el sistema  x+ y + (m − 1) z = −2m
(m − 1) x + y + z = m − 1

a) Clasifícalo según los valores del parámetro m.
b) Resolverlo en el caso m=1
c) Resolverlo en el caso m=-1
(2,5 p.)

1

1

1

2.- Sabiendo que A = a
a2

b
b2

c = 2 calcula, indicando las propiedades que utilizas:
c2

a −1

c −1

b −1

a) a − 1 c − 1 b 2 − 1
5
5
5
2

2

b) (2A)

2

c) A t · A −1
(2 p.)

3.- Siendo

0 
 3 0 0
0 1




A = 2 3 0 B =  2 0 − 2
 1 2 3
0 −1 3 





resuelve la siguiente ecuación matricial

XA − B = 2 X

(2 p.)

0
1 0
4.- Dada la matriz A =  0 − 4 10 
0 − 3 7 


a) Comprobar que satisface la relación A2 – 3 A + 2 I = O, siendo I y O, respectivamente, las
matrices de orden 3x3 unidad y nula.
b) Comprobar que si una matriz B cumple la relación
B2 – 3 B + 2 I = O, B tiene inversa.
c)Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores α
y β tales que A3 = α A + β I, sabiendo que la matriz A verifica la igualdad A2 – 3 A + 2 I = O.
(2 p.)
a − 2 0


5.- Dada la matriz A =  0 − 2 0 
0 1 a


a) ¿Para qué valores de a la matriz es invertible?
1
b) Hallar a para que cumpla A −1 = A
4
(1,5 p.)

OPCIÓN B
(α + 3) x − 4 y − 2 z = 4

 x− 2 y − (α + 2) z = 2 ,
2 x + (α − 3) y − 2 z = 4


1º) Dado el sistema de ecuaciones lineales
se pide (razonando las
respuestas):
a) Justificar que para el valor de α = 0 el sistema es incompatible.
b) Determinar los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y
determinado.
c) Resolver el sistema para el valor del parámetro α para el cual es compatible
indeterminado.
(2’5...