Final

Matem´ticas I a

2.3 Listas de ejercicios de C´lculo Integral a

2.3
2.3.1

Listas de ejercicios de C´lculo Integral a
C´lculo de primitivas a

175. Encontrar la expresi´n de las siguientes integrales indefinidas: o a) d) g) j) m) p) tg2 x dx e− sen x cos x dx x(2x + 5)−10 dx √ 1 − x2 dx b) e) h) k) n) q) x(3x2 + 1)4 dx
x 1+x4

c) f)

6x2 +4 x3 +2x+7
4.1 Introducci¶on
Se haestudiado la regla de la cadena para obtener, impl¶³citamente, dy
dt
de una funci¶on y = f(t). As¶³, por ejemplo,
d
dt
( y n) = n y n¡1 dy
dt
.
Otra aplicaci¶on importante de lo anterior es el c¶alculo de razones de cambio de dos o m¶as variables que cambian con el
tiempo; o sea, >qu¶e tan r¶apido var¶³a una cantidad en el tiempo?
Por ejemplo, suponga que se tiene un recipiente c¶onico conagua, como el que se muestra en la ¯gura. Cuando el agua sale
del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.
Recipiente lleno Recipiente vaci¶andose
Estas tres variables est¶an relacionadas entre s¶³, por la ecuaci¶on del volumen del cono; a saber:
V = ¼
3 r2 h (¤)
3
4
Por otra parte, derivando impl¶³citamenteambos lados de (*) respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuaci¶on
de razones relacionadas:
dV
dt
= ¼
3
·
2 r h
dr
dt
+ r2 dh
dt
¸
Se puede observar que la raz¶on de cambio del volumen, est¶a ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde:
dV
dt
es la raz¶on o rapidez a la cual var¶³a el volumen con respecto al tiempo
dr
dt
es la raz¶on o rapidez a lacual var¶³a el radio con respecto al tiempo
dh
dt
es la raz¶on o rapidez a la cual var¶³a la altura con respecto al tiempo
As¶³, por ejemplo, dV
dt
= 10m3=seg signi¯ca que el volumen est¶a aumentando 10m3 cada segundo; mientras que,
dV
dt
= ¡10m3=seg signi¯ca que el volumen est¶a disminuyendo 10m3 cada segundo.
4.2 Problemas de Razones Relacionadas
De acuerdo con lo expuesto anteriormente,en todo problema de razones relacionadas (o tasas relacionadas), se calcula
la rapidez con que cambia una cantidad en t¶erminos de la raz¶on de cambio de otra(s) cantidad(es).
Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas
(1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situaci¶on planteada.
(2) Designar con s¶³mbolos todas las cantidades dadas y las cantidades pordeterminar que var¶³an con el tiempo.
(3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cu¶ales razones de cambio se conocen y cu¶al es la raz¶on de cambio
que se requiere.
(4) Plantear una ecuaci¶on que relacione las variables cuyas razones de cambio est¶an dadas o han de determinarse.
(5) Usando la regla de la cadena, derivar impl¶³citamente ambos miembros de la ecuaci¶on obtenida en (4), conrespecto
al tiempo t, con el ¯n de obtener la ecuaci¶on de razones relacionadas.
(6) Sustituir en la ecuaci¶on resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cam-
bio, a ¯n de deducir (despejar) la raz¶on de cambio requerida. (Nota: Es hasta en este momento, que se hacen las
sustituciones de acuerdo con los datos del problema)
5
Ejemplo 1
Un recipientec¶onico (con el v¶ertice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua °uye
hacia el recipiente a raz¶on de 3 metros c¶ubicos por minuto, encuentre la raz¶on de cambio de la altura del agua cuando
tal altura es de 2 metros.
Soluci¶on. Sea V el volumen del recipiente, r el radio de la super¯cie variable en el instante t y h el nivel del agua en el
instante t.Recipiente llen¶andose Relaci¶on de Thales
3,5
Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea, dV
dt
= 3m3=min.
Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir, dh
dt
¯¯¯¯
h=2 m
La ecuaci¶on que relaciona las variables es el volumen del cono: V = ¼
3 r2h (*)
Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( r y h ), conviene,...