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DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Introducción
2. La distribución Normal general
3. La distribución Normal Reducida (Tipificada)
3.1.Comprobación de que la distribución Normal Reducida es una
distribución de probabilidad
4. Funciones de distribución . ejemplo 1
5. Función generatriz de momentos
6. Media y Varianza de la Distribución Normal .
7. Coeficientes de asimetría y kurtosis de ladistribución normal .
8. Teorema de adición . ejemplo 2
9. Teorema Fundamental de las Distribuciones Normales . ejemplo 3
10. Distribuciones Normales-Transformadas

1. Introducción
La distribución normal es , con mucho , la más importante de todas las
distribuciones de probabilidad . Es una distribución de variable continua , con campo de
variación ]- , [ . Fue ‚ descubierta por Gauss al estudiar ladistribución de los
errores en las observaciones astronómicas.
Debe su importancia a tres razones fundamentales:
Por un lado, un gran número de fenómenos reales se pueden modelizar con esta
distribución (tales el caso de las características cuantitativas de casi todas las grandes
poblaciones). Por otro lado, muchas de las distribuciones de uso frecuente tienden a
aproximarse a ladistribución normal bajo ciertas condiciones ; y , por último ,en virtud
del Teorema Central del Límite, todas aquellas variables que puedan considerarse
causadas por un gran número de pequeños efectos (como pueden ser los errores de
observación) tienden a distribuirse con una distribución normal.
Para comprender mejor la distribución normal planteemos su descubrimiento ,
en un pequeño gráfico . Nosencontramos midiendo la distancia a un astro (d) ;
evidentemente cada distancia observada no ha de ser es igual a la anteriormente tomada
pues cometemos errores medición , bien por nosotros , bien por lo instrumentos .
Teóricamente un error puede ser tan grande que la distancia observada sea mas
infinito, y también teóricamente , menos infinito. Plasmamos en un gráfico, y sobre un
eje , cadaobservación que realizamos ( en el gráfico un cuadrado). Cuantas más
observaciones realizamos los diversos cuadrados , en conjunto , van tomando una
determinada forma ; si nos planteamos calcular la expresión analitica de dicha forma
llegamos a la función de la curva , que tomada como función de densidad , pues posee
las características de dicho tipo de funciones , es la de la distribución normal.
Dependiente , como se observa , de dos párametros : uno , el valor central de la curva , y
,otro, la distancia de dicho valor a los puntos de inflexión (luego comprobaremos que
dichos parámetros son la media y la desviación típica)

1

J.Lejarza & I.Lejarza

La distribución normal es una distribución de variable continua que queda
especificada por dos parámetros de los que depende sufunción de densidad y que
resultan ser la media y la desviación típica de la distribución . Su estudio teórico suele
introducirse directamente a partir de su función de densidad.

2. La distribución Normal general
Como se ha dicho ,depende de dos parámetros , 
comprobaremos , son su media y su desviación típica .

,

, que como luego

El hecho de que una variable x se distribuya conuna distribución normal de
media  y desviación típica  se representa por:

X  N[ ; ] ó L(X) N[ ; ]

2

J.Lejarza & I.Lejarza

(Aunque nosotros seguiremos este sistema de especificación , es bastante
corriente , también ‚ que a la distribución normal se la especifique por los parámetros
2
media y varianza ( en vez de desviación típica),  , 

Su función de densidad es:Las características de dicha función de densidad serán:
Si realizamos la primera derivada de dicha función tendremos que :

dado que :

la segunda derivada será:
Igualando a cero la primera derivada obtenemos que y'=0 para X =  y para X =  .
Como la segunda derivada en x =  es negativa ,concluimos que la función de
densidad presenta un máximo en X =  , lo que nos hace afirmar que la...