finanzas

CAPíTULO 3

La teoría de la cartera
1.

Formulación

En la última de las economías analizadas, la de mercados de activos ordinarios, veíamos que los individuos podían ocupar los activos
financieros como medios para llevar poder de compra de un período a
otro, y de un estado de la naturaleza a otro. Una vez disipada la incertidumbre, ocuparían los recursos transportados (unidades decuenta) en
la compra de canastas de bienes de consumo en los mercados corrientes
de bienes que se abrirían en el segundo período.
Para un consumidor, entonces, el problema de decisión puede ser
separado conceptualmente en tres partes:
1. En el primer período debe decidir cuánto ahorrar (o desahorrar), y
2. qué hacer con ese ahorro.
3. En el segundo período debe comprar bienes con el producto
delahorro.
El primer problema es el del consumo intertemporal, mientras el
tercero corresponde al de consumo bajo certidumbre. El segundo, en
tanto, es el problema estático de la cartera (también se puede considerar el problema dinámico, pero cuando se trata de decisiones secuenciales se puede representar como una secuencia de problemas estáticos.
Volveremos sobre este punto en la sección 5,donde además abordamos
el problema de consumo intertemporal.) En este módulo nos concentramos en el problema de la cartera, vale decir, cómo escoger activos.
Para ello, definimos u(Ws ) como la función de utilidad indirecta
asociada al problema
L
X
xs ps ≤ Ws
m´xu(xs1 , xs2 , ..., xL ) sujeto a
a
{xs }

=1

23

(1.1)

1. FORMULACIÓN

24

Entonces, para un nivel de ahorrodeterminado W0 , el problema de
la cartera consiste en:
S
K
X
X
m´x π s u(Ws (a)) sujeto a
a
qk ak ≤ W0
{a}

donde Ws (a) =

s=1

K
P

(1.2)

k=1

rsk ak . Así, nos imaginamos un consumidor que en

k=1

el período 0 decide sus compras de activos, cuyo retorno es incierto,
de manera de maximizar su utilidad esperada, la que depende de la
riqueza que alcance en el períodosiguiente. La condición de primer
orden del lagrangeano es:
S
X µ rsk ¶
u0 (Ws ) ∀k ∈ K
λ=
πs
qk
s=1

(1.3)

El aporte marginal del activo k a la utilidad esperada –que está
dado por la esperanza del retorno bruto del activo– ponderado por la
utilidad marginal del ingreso en cada estado, debe ser igual a través de
todos los activos. Vale decir, obtenemos la habitual condición deindiferencia en el margen. La condición de segundo orden está garantizada
por la concavidad de la función de utilidad (la que, a su vez, proviene
del supuesto de aversión al riesgo).
Observación 5. Si (y sólo si) la matriz de retornos R es de rango
completo, cualquier otra base se puede ocupar para definir el problema. En particular, se puede ocupar IS (economía con activos puros)
y encontrar en unasegunda etapa la cartera óptima de activos ordinarios de acuerdo a a = R−1 b. Note que este problema transformado
a
corresponde al de escoger las canastas de consumo directamente, y la
segunda etapa dilucida qué cartera o paquete de activos reproduce la
canasta de consumo seleccionada. Así, el problema del consumidor es
S
K
P
P
a
qk bk ≤ W0 . En este formato, la condición
ba
m´x π s u(bs) sujeto a
a
{a} s=1
k=1
³ ´
de primer orden es λ = π s q1s u0 (bs ), que dice que la rentabilidad brua
ta (en utiles) de cada activo puro debe ser la misma en todos los estados
de la naturaleza.
Una formulación alternativa consiste en definir el porcentaje de la
k
cartera invertido en el activo k como αk ≡ qWa0k . Entonces, el problema

2. UN CASO PARTICULAR: DOS ACTIVOS

es:

!Ã
K
K
S
X
X
X
αk ≤ 1
m´x π s u W0 ρsk αk sujeto a
a
{α}

s=1

k=1

25

(1.4)

k=1

donde ρsk ≡ rqsk es la rentabilidad bruta obtenida ex-post en el activo
k
k. En este caso, tenemos:
λ=

S
X
π s ρsk u0 (Ws )W0 ∀k ∈ K

(1.5)

s=1

que es equivalente a la condición que surge de la primera formulación.
Existe aún una tercera alternativa, consistente en expresar...