Finanzas

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1

Funciones continuas

De…nición 1 Una función f : I ! R; I
R es continua en a 2 I si lim f (x) = f (a). f
x!a
es continua en I si es continua en todos los puntos de I:
Proposición 1 Si f y g son continuas también son continuas las funciones f g; f + g,
f g, y f =g (en los puntos donde g(x) 6= 0)
Teorema 1 (de Bolzano) Si f : [a; b] ! R es continuay f (a) < 0, f (b) > 0, entonces
existe c 2 (a; b) tal que f (c) = 0.

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Derivadas

De…nición 2 Dada f : I ! R se dice que f es derivable en a 2 I si existe el límite
f 0 (a) = lim

x!a

f (x)
x

f (a)
:
a

Se dice que f es derivable en I si es derivable en todos los puntos de I, y se de…ne la
función derivada f 0 : I ! R, x 7! f 0 (x).
df
Tambien se usa la notación para laderivada f 0 (x) = dx
(x):
La de…nición de derivada se suele escribir también de las siguientes formas
f 0 (a) = lim

h!0

f (a + h)
h

f (a)

= lim

4f

4x!0 4x

La relación entre ellas se obtiene tomando 4f = f (x)

:

f (a), 4x = h = x

a:

Proposición 2 Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. El recíproco no es
cierto.
Si f 0 es una función derivable,se llama derivada segunda de f a f 00 = (f 0 )0 , y de módo
análogo se de…ne la derivada tercera, etc. La derivada n-ésima se denota f (n . Una función
es de clase C r si es r veces derivable y la derivada r-ésima es continua.
Las siguientes propiedades son fundamentales para el cálculo de derivadas
Proposición 3 Si f; g son funciones derivables, entonces
a) f + g es derivable y (f (x) +g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x):
b) f es derivable y ( f (x))0 = f 0 (x) si 2 R:
c) f g es derivable y (f (x) g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) (regla de Leibniz).
d) f g es derivable y (f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x) (regla de la cadena).

3

Elasticidad

Se llama elasticidad de f respecto de x a la función
f (x)

=

4f
f
lim 4x
4x!0
x

=

x
4f
xf 0 (x)
lim
=
:
f (x) 4x!0 4xf (x)

En los puntos donde j f (x)j < 1 decimos que f es inelástica respecto a x, donde j f (x)j > 1
que f es elástica respecto a x y donde j f (x)j = 1 que f tiene elasticidad unitaria.
1

4

Fórmula de Taylor

Si f es derivable en a, cuando x está próximo a a se tiene aproximadamente
f 0 (a) '

f (x)
x

f (a)
;
a

de donde deducimos que f (x) ' f (a) + f 0 (a)(x a). Lafunción r(x) = f (a) + f 0 (a)(x a)
es una recta de pendiente f 0 (a) que se llama recta tangente a f en el punto a. Por tanto
concluimos que cerca de a la función f (x) se aproxima a su recta tangente r(x), y que la
derivada f 0 (a) es la pendiente de la recta tangente.
Un re…namiento de este resultado es el siguiente:
Teorema 2 (Fórmula de Taylor) Si f : I ! R; I intervalo de R es de clase C r+1,
entonces para todo x; a 2 I existe c entre a y x tal que
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x

a) +

f 00 (a)
(x
2!

a)2 +

f 000 (a)
(x
3!

00

f (r (a)
(x a)r
r!
f (r+1 (c)
(x a)r+1 :
+
(r + 1)!

a)3 + : : : +

El polinomio pr (x) = f (a)+f 0 (a)(x a)+ f 2!(a) (x a)2 + f

000 (a)

3!

(x a)3 +: : :+ f

se llama polinomio de Taylor de f en a de grado r. El término R =llama resto de Lagrange.

f (r+1 (c)
(r+1)!

(r (a)

(x

r!

(x a)r

a)r+1 se

Para r = 0 obtenemos f (x) = f (a) + f 0 (c)(x a). Una aplicación de este resultado es
que si f 0 (x) = 0 para todo x, entonces f es una función constante.
La fórmula de Taylor proporciona una aproximación del comportamiento local de la
función más precisa que la recta tangente (que es el polinomio deTaylor de grado 1). Para
medirlo introducimos la siguiente notación:
De…nición 3 f es un in…nitésimo en a si lim f (x) = 0. Si f; g son in…nitesimos en a,
x!a

(x)
(x)
decimos que son equivalentes si lim fg(x)
= 1, y escribimos que f = o(g) si lim fg(x)
= 0.
x!a

x!a

Con está notación la formula de Taylor se escribe
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x

a) +

En términos de los...