Finciones, Derivadas E Integrales

INTRODUCCION

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El cálculoaproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en esepunto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
El objetivo del presente texto, es realizar un enfoque conceptual y técnico en las aplicaciones básicas de las funciones, derivadas e integrales, que permitan a cualquier lectorcomprender la relación que existe entre estas y la importancia que tienen sus variadas aplicaciones en los estudios de matemática, física, química, biología y otras ciencias alternativas.

1.- FUNCION:

Se denomina función a la relación entre dos magnitudes de forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único elemento del conjunto final. La generalidad de su definición haceque sea aplicable a numerosas situaciones y cubre en su amplitud las relaciones de dependencia que existen, tanto en la matemática como en las demás ciencias

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

En otras palabras, para que una relación entre losconjuntos A y B sea una función, es necesario que por medio de ella "todo elemento del conjunto A esté asociado con un único elemento del conjunto B".

La función f de A en B se denota por f: A ® B.

Si f: A ® B es una función y x es un elemento cualquiera de A, entonces existe un
Elemento y que pertenece a B, que está relacionado con x mediante la función f , a tal elemento y se le llama imagen dex mediante f y se denota por y=f(x).

La expresión y=f(x), se lee “y es la imagen de x mediante f ” o “ y es el valor de la función f en x” . Ella representa la regla de asociación que permite asignar a cada elemento del conjunto A, su correspondiente imagen.

Ejemplo: Consideremos los conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} y B = { 0, 1, 2, 3, 4 }, y la función f: A ® B donde f(x) = x2 .La regla y=f(x) nos permite encontrar la imagen de cada elemento del conjunto A, la función la podemos representar mediante un gráfico o como un conjunto de pares ordenados

f = { (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4) }

1.1.- DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:

Sea f una función tal que f:A® B con y=f(x). El conjunto A se llama dominio de la función f y se denota por Domf. Es decir Domf = A. yal conjunto B se le llama codominio de f.

Al subconjunto de B, conformado por todos los elementos relacionados con elementos del dominio mediante la función, lo llamaremos rango de la función f y lo denotaremos por Ragf. Es decir Ragf = {ye B: y=f(x) para algún xe A}

Ejemplo: El dominio es el conjunto A, el codominio es B y el rango es el conjunto formado por las imágenes Ragf = { 0, 1, 4}.

A= Conjunto de salida o dominio. B= Conjunto de llegada o codominio. C= conjunto imagen o rango (C está contenido en B)

Observaciones:

1) Si la función está definida de A en B entonces, el dominio de dicha función es el conjunto A y el codominio es el conjunto B.

2) Todos los elementos del dominio de una función deben estar relacionados con algún elemento del codominio (conjunto...