Finita

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere enque se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisisnumérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Contenido * 1 Diferencias anterior, posterior y central * 2 Relación con las derivadas * 3 Cálculo de diferencias finitas * 4Derivadas de órdenes mayores * 5 Métodos de diferencias finitas * 6 Véase también * 7 Referencias * 8 Bibliografía complementaria |
Diferencias anterior, posterior y central

Diferencias finitas.Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.
Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, elespaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.
Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferenciasanteriores y posteriores. Viene dada por

Relación con las derivadas
La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse acero, el término de la derecha se convierte en

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse delteorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación másajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas
La diferencia anterior puede considerarse un operador...